Définition

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K. Une application h:E → F est appelé un "homomorphisme d'espaces vectoriels" ou encore une 'application linéaire', si elle vérifie les conditions:
Cette définition peut être remplacée par la suivante:
f est linéaire ssi:
f(λu+μv)=λf(u)+μf(v) ∀(λ,μ)∈K×K ∧ ∀(u,v)∈E×E.
Lorsque E=F on dit 'endomorphisme' de E au lieu d'application linéaire de E dans E.
Nous étudions ici 4 applications de ℝ2 dans lui-même. Vous pouvez choisir chacune d'entre elles avec un bouton.
La formule de la transformation s'affiche alors en vert en bas de la zone graphique.
Déplacer avec la souris le point M (rouge) pour faire varier le vecteur OM .
L'image OM' de OM apparaît alors comme un vecteur bleu.
Les traces des extrêmités des vecteurs OM et OM' restent.
Vous pouvez les effacer avec la barre de menu en bas (option :0) ou bien en changeant de transformation.
Pour savoir si l'application étudiée est linéaire appuyer sur le bouton 'linéaire ?'.

Exemples

Les applications linéaires sont très nombreuses. Voici quelques exemples:
  1. Les applications du type u → λu (λ scalaire fixe) sont des applications linéaires, appelées généralement 'homothéties'. Parmi celles ci, l'application 'nulle' u → 0 correspondant à λ=0, et l'application 'identique' u → u correspondant à λ = 1.
    Voici une appliquette vous permettant de visualiser dans le plan une homothétie.
    Chaque point M du plan correspond à un vecteur OM d'origine O.
    A l'aide de la réglette vous pouvez fixer le rapport λ entre -2 et +2.
    Déplacer le point M (rouge) avec la souris, l'application tracera le vecteur OM' image de OM par l'homothétie.
    Voici une autre appliquette représentant une homothétie plane.
    Les points sont identifiés aux vecteurs d'origine O.
    Vous pouvez déformer le polygone ABCDE en tirant l'un quelconque de ses sommets avec la souris.
    Le polygone A'B'C'D'E' est l'image du polygone ABCDE par l'homothétie vectorielle de rapport λ.
    Vous pouvez fixer le rapport λ avec la réglette entre les valeurs -2 et +2.
    Voici maintenant une appliquette représentant les homothéties dans l'espace à 3 dimensions.
    Choisissez le rapport λ de l'homothétie avec la règlette entre -2 et +2.
    Vous verrez l'image de la pyramide jaune par l'homothétie de rapport k en couleur magenta.
    Vous pouvez stopper l'animation et la reprendre à tout moment par un click de souris sur la zone graphique.


  2. Si E désigne l'espace vectoriel des fonctions dérivables sur l'intervalle I, l'application f → f' qui à toute fonction associe sa dérivée est linéaire.
  3. Si E désigne l'espace vectoriel de toutes les fonctions intégrables au sens de Riemann sur l'intervalle [a,b] l'application qui à f associe son intégrale définie sur [a,b] est linéaire.
  4. Si E=F⊕G. Tout vecteur u s'écrit de manière unique u=v+w avec v ∈ F et w ∈ G. Les applications: Sont des applications linéaires appelées 'projecteurs' sur F et G respectivement.
    Voici une appliquette vous permettant de visualiser dans le plan une projection sur une droite (OA) parallèlement à une autre droite (OB).
    Chaque point du plan correspond à un vecteur.
    Déplacez le point M avec la souris, l'application tracera le vecteur OM' , M' étant l'image de M par la projection.
    Vous pouvez aussi faire varier les droites (OA) et (OB) à l'aide de la souris en déplaçant les points A et B.
  5. Dans les mêmes conditions que précédemment l'application u+v → u-v s'appelle la 'symétrie par rapport à F parallèlement à G' , c'est une application linéaire
    Voici une autre appliquette vous permettant de visualiser dans le plan une symétrie relativement à une droite (OA) parallèlement à une autre droite (OB).
    Chaque point du plan correspond à un vecteur.
    Déplacez le point M avec la souris, l'application tracera le vecteur OM' , M' étant l'image de M par la symétrie.
    Vous pouvez aussi faire varier les droites (OA) et (OB) à l'aide de la souris en déplaçant les points A et B.
  6. Voici une autre appliquette, voisine de la précédente.
    Un pentagone ABCD est tracé ainsi que son image par symétrie axiale (OF) parallèle à une direction donnée (OG).
    A l'aide de la souris vous pouvez déplacer les droites (OF) et (OG) ainsi que les sommets du pentagone.
  7. De fait, l'exemple précédent, tout comme les homothéties et les projections, est un cas particulier d'applications plus générales et qu'on appelle des 'affinités'. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E et k un scalaire quelconque. Tout vecteur s'écrit de manière unique u+v avec u ∈ F et v ∈ G. Soit l'application a: u+v → u+kv, cette application s'appelle l'affinité de base F et de direction G, elle est linéaire.
    Voici une appliquette vous permettant de visualiser dans le plan une affinité sur une droite parallèlement à une autre droite.
    A l'aide du curseur vous pouvez fixer le rapport entre -2 et +2.
    Vous pouvez également modifier les deux doites en attrapant l'extrêmité des vecteurs directeurs avec la souris avec un tirer-déplacer (drag'n drop) sur les points A et B.
    Chaque point du plan correspond à un vecteur.
    Déplacez le point M avec la souris M, l'application tracera le vecteur OM' , M' étant l'image de M par l'affinité de rapport λ.
    On voit que les projections sont des affinités de rapport 0, alors que les symétries, au sens précédent, sont des affinités de rapport -1
    Voici une autre appliquette, voisine de la précédente.
    Un pentagone ABCD est tracé ainsi que son image par affinité d'axe (OF) parallèle à une direction donnée (OG) et de rapport λ.
    A l'aide de la souris vous pouvez déplacer les droites (OF) et (OG) ainsi que les sommets du pentagone.
    A l'aide du curseur, vous pouvez faire varier le rapport λ.
    Que trouve-t-on dans les cas k=0, k=1, k=-1 ?
    Voici encore un exemple d'affinité dans l'espace à 3 dimensions.
    Nous représentons une affinité de rapport λ par rapport au plan xOy parallèlement à Oz.
    Vous pouvez fixer le rapport le rapport λ avec le curseur.
    Vous aurez alors l'image de la pyramide jaune en couleur magenta.
    L'animation peut être interrompue et reprise par un simple clic sur la zone graphique.


  8. Si E est l'espace vectoriel de toutes les applications de ℝ dans ℝ et si a est un réel quelconque. L'application f → f(a) est une application linéaire.

Espaces L(E,F)

Soient E et F deux K-espaces vectoriels.
On pose pour tout x de E (f+g)(x)=f(x)+g(x). L'application f+g s'appelle la 'somme' de f et g, et c'est une application de E dans F.
Soit λ un scalaire de K, on pose (λf)(x)= λf(x). On définit ainsi une application de E dans F, appelée 'produit de f par le scalaire λ'.
On a alors le résultat suivant:
L'ensemble des applications linéaires muni des deux lois ci-dessus devient à son tour un espace vectoriel, cet espace se note L(E,F).
La démonstration est immédiate. il n'y a qu'à vérifier que f+g et λf sont bien linéaires, puis que les axiomes des espaces vectoriels sont satisfaits.

Composition

Il résulte immédiatement des définitions que:
Si E,F,G sont 3 espaces vectoriels sur un même corps K, si f:E → F et g: F → G sont deux applications linéaires, alors la composée gof: F → G est encore une application linéaire.