Dans tout ce module K désigne un corps commutatif. Le plus souvent ce sera ℝ ( revoir ) ou ℂ ( revoir ). Cependant, la plupart des résultats restent valables pour n'importe quel corps y compris ℚ ( revoir ) et les corps finis. Seule la théorie des déterminants suppose un corps de caractéristique distincte de 2, et la théorie de l'orthogonalité suppose que K est l'un des deux corps ℝ ou ℂ. Les éléments de K seront appelés les 'scalaires' .
Les vecteurs seront représentés par des lettres latines u,v,w,x,y,z, surmontées ou non de flèches.

Approche intuitive

Dans cette approche, le corps de base K est supposé être le corps des nombres réels.
Nous exigeons au minimum qu'un ensemble de vecteurs soit pourvu d'une addition, lui conférant une structure de groupe abélien additif.
Voici comment on peut se représenter cette addition:
L'applet qui suit vous permet de faire varier les vecteurs u et v du plan en déplaçant leurs extrêmités à la souris.
On voit qu'une telle somme est nécessairement commutative.
Illustration de l'associativité:
L'applet qui suit vous permet de faire varier les vecteurs u et v et w en déplaçant leurs extrêmités.
L'animation suivante permet de voir une somme de deux vecteurs dans ℝ3.
On devra également disposer d'une loi externe appelée 'multiplication par un scalaire'. Si u désigne un vecteur et si α désigne un scalaire, le vecteur α u sera : L'applet qui suit vous permet de visualiser la multiplication d'un vecteur par un scalaire.
Le curseur permet de faire varier le scalaire λ.
Avec la souris vous pouvez modifier le vecteur u.
En outre, la loi externe devra posséder intrinséquement et relativement à l'addition des vecteurs, certaines propriétés, en voici une: λ(u+v)=λu+λv qui est ici illustrée par le théorème de Thalès.
L'applet suivante vous permet de faire varier les vecteurs u et v en tirant leurs extrêmités, ainsi que le scalaire λ au moyen de la réglette.

Définition axiomatique

K étant un corps commutatif, on appelle 'K-espace vectoriel' ou bien encore 'espace vectoriel sur K' , la donnée d'un ensemble E muni d'une loi interne notée additivement + et d'une loi externe :
K × E → E , (λ, u) → λu
vérifiant la liste d'axiomes suivants:
Les conséquences sont nombreuses, citons entre autres:

Exemples

Voici quelques exemples de cette structure d'espace vectoriel:
  1. L'exemple le plus simple qu'on puisse donner est l'ensemble K lui-même, la loi 'externe' étant en fait la multiplication interne. Les différents axiomes se résument alors à la distributivité de × sur +, et à l'associativité de × .
  2. On peut également donner l'ensemble K2 = K×K des couples (x,y) d'éléments de K, l'addition étant l'addition 'terme à terme' ( loi produit) et le couple λ(x,y) étant le couple (λx,λy). Les axiomes des espaces vectoriels se vérifient aisément.
  3. L'exemple précédent est un cas particulier de Kn= K×K×K×...×K (produit cartésien de n exemplaires de K) où l'addition est définie terme à terme:
    (x1,x2,...,xn)+(y1,y2,...,yn)=(x1+y1,x2+y2,..., xn+yn). Cette loi n'est donc que la loi 'produit' de n exemplaires de '+', c'est donc une loi de groupe avec pour vecteur nul le vecteur (0,0, ... ,0).
    La loi externe est définie comme dans le cas précédent: λ (x1,x2,...,xn)=(λx1,λx2,...,λxn)
    Là encore les axiomes se vérifient instantanément.
    Voici une applet donnant quelques calculs aléatoires dans l'espace ℚn
    Cliquez pour voir des calculs dans ℚn !
  4. En voici une autre avec un corps fini.
    Cliquez pour voir des calculs dans (ℤ/5ℤ)n !
    Encore un exemple avec l'espace ℂn considéré comme espace réel.
    Cliquez pour voir des calculs dans ℂn e.v. réel!
  5. On peut également considérer l'ensemble K de toutes les suites infinies d'éléments de K. Là encore l'addition et la multiplication par un scalaire seront définies terme à terme.
  6. Tous les exemples précédents sont eux-mêmes des cas particuliers de l'exemple suivant: KD ensemble de toutes les fonctions de D dans K (D désigne ici un ensemble tout à fait quelconque). Cet exemple est le plus général possible, et comme nous le verrons un peu plus tard, il contient en substance tous les espaces vectoriels possibles sur K.
  7. Supposons maintenant qu'on ait construit un espace de points satisfaisant aux axiomes de la géométrie euclidienne. Un 'bipoint' est tout simplement un couple ordonné (A,B) au sens de la théorie des ensembles. Un tel bipoint est encore appelé 'vecteur lié' . Sur l'ensemble des vecteurs liés définissons une relation binaire : (A,B) ≡ (A',B') ⇔ (A,A',B',B) est un parallélogramme. Cette relation est une relation d'équivalence. Les classes d'équivalence pour cette relation sont appelés des 'vecteurs libres' . Sur l'ensemble des vecteurs libres définissons l'addition comme il est montré dans les figures ci-dessus (diagonale du parallélogramme), de même pour la loi externe. On peut vérifier qu'on a ainsi construit un espace vectoriel.

Café Python

Voici comment on peut créer une classe pour modéliser des vecteurs du plan:

Pour ne pas réinventer la roue on peut aussi utiliser des objets préfabriqués de type 'array' dans la librairie 'numpy'

Voici enfin une modélisation des vecteurs de l'espace ℚn qui utilise le module fractions standard dans la version 3 du langage Python.