Définition matrice application linéaire

Définition

Soit f: E → F une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie n dans un espace F de dimension finie m.
Soient B=(u₁,...,u_n) une base de E et B'=(v₁,....,v_m) une base de F. On appelle " matrice de f relativement aux bases B et B' " et on note M(f,B,B') la matrice de type m,n dont les coefficients (α_i,j) 1≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n sont définis par:
α_i,j est la coordonnée de f(u_j) relativement au vecteur v_i.

Cette définition appelle les commentaires suivants:

Le nombre de lignes de M(f,B,B') est la dimension de l'espace d'arrivée.
Le nombre de colonnes de M(f,B,B') est la dimension de l'espace de départ.
La notion de matrice d'une application linéaire n'est pas unique. Si on change B ou B' la matrice M(f,B,B') change.

Propriétés

La propriété suivante se vérifie facilement par application de la définition.

B et B' étant fixées, l'application f → M(f,B,B') est un isomorphisme de l'espace vectoriel L(E,F) sur l'espace vectoriel M(m,n,K). Ce qui implique en particulier que:
M(f+g,B,B')=M(f,B,B')+M(g,B,B')
M(λf,B,B')= λM(f,B,B')
Toute application linéaire est entièrement déterminée par sa matrice relativement aux bases B et B'

Ce qui suit résulte de la définition du rang d'une application linéaire et du rang d'une matrice :

Si A=M(f,B,B') alors rg(f)=rg(A)

Exemples

La matrice de l'application nulle est la matrice nulle, quelles que soient les bases choisies.

Si E est l'espace des polynômes de degré au plus égal à 3, et si F est l'espace des polynômes de degré au plus égal à 2, D étant la dérivation.
La matrice des D par rapport aux bases (1,x,x²,x³) et (1,x,x²) est:

1	0	0
0	2	0
0	0	3

La matrice de l'application linéaire de Kⁿ → K définie par f((x₁,...,x_n))=x₁+...+x_n par rapport aux bases canoniques de Kⁿ et K est:
(1 1 ... 1 1)

Illustration en dimension 2

L'appliquette suivante une application linéaire de ℝ² dans ℝ².

Les vecteurs u et v tracés en vert représentent les images de i=(1,0) et j=(0,1) respectivement.
La matrice (2,2) en haut à gauche représente la matrice de l'application linéaire par rapport à la base canonique de ℝ².
Les vecteurs u et v représentent donc les colonnes de la matrice.
Vous pouvez faire varier ces deux vecteurs en attrapant leur extrémité avec la souris par un tirer-déplacer (drag'n drop).
La matrice est mise à jour au cours de cette opération.
La matrice étant fixée vous pouvez déplacer un point générique M du plan avec la souris.
Le vecteur image $\vec{OM'}$ de $\vec{OM}$ apparaît alors.

Examiner en particulier les cas suivants:
u=(-1,0) v=(0,1)
u=(1,0) v=(0,1)
u=(2,0), v=(0,2)
u=(2,0), v=(0,1)
u=(-1,0),v=(0,-1)
u=(0,1), v=(1,0)
u=(0,0), v=(0,1)
u=(1,0) ,v=(0,0)
Quelles applications reconnaissez-vous?