Définition

Soit f: E → F une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie n dans un espace F de dimension finie m.
Soient B=(u1,...,un) une base de E et B'=(v1,....,vm) une base de F. On appelle " matrice de f relativement aux bases B et B' " et on note M(f,B,B') la matrice de type m,n dont les coefficients (αi,j)  1≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n sont définis par:
αi,j est la coordonnée de f(uj) relativement au vecteur vi.
Cette définition appelle les commentaires suivants:

Propriétés

La propriété suivante se vérifie facilement par application de la définition.
B et B' étant fixées, l'application f → M(f,B,B') est un isomorphisme de l'espace vectoriel L(E,F) sur l'espace vectoriel M(m,n,K). Ce qui implique en particulier que:
M(f+g,B,B')=M(f,B,B')+M(g,B,B')
M(λf,B,B')= λM(f,B,B')
Toute application linéaire est entièrement déterminée par sa matrice relativement aux bases B et B'
Ce qui suit résulte de la définition du rang d'une application linéaire et du rang d'une matrice :
Si A=M(f,B,B') alors rg(f)=rg(A)

Exemples

  1. La matrice de l'application nulle est la matrice nulle, quelles que soient les bases choisies.
  2. Si E est l'espace des polynômes de degré au plus égal à 3, et si F est l'espace des polynômes de degré au plus égal à 2, D étant la dérivation.
    La matrice des D par rapport aux bases (1,x,x2,x3) et (1,x,x2) est:
    0 1 0 0
    0 0 2 0
    0 0 0 3
  3. La matrice de l'application linéaire de Kn → K définie par f((x1,...,xn))=x1+...+xn par rapport aux bases canoniques de Kn et K est:
    (1 1 ... 1 1)

Illustration en dimension 2

L'appliquette suivante une application linéaire de ℝ2 dans ℝ2. Examiner en particulier les cas suivants:
u=(-1,0) v=(0,1)
u=(1,0) v=(0,1)
u=(2,0), v=(0,2)
u=(2,0), v=(0,1)
u=(-1,0),v=(0,-1)
u=(0,1), v=(1,0)
u=(0,0), v=(0,1)
u=(1,0) ,v=(0,0)
Quelles applications reconnaissez-vous?