Dans tout ce qui suit, K désigne un corps commutatif.

Equations linéaires

Une 'équation linéaire' à n inconnues à coefficients dans K est une équation du type: λ1x12x2+...+λnxn=β où tous les symboles représentent des éléments de K.
L'expression λ1x12x2+...+λnxn est nommée 'premier membre'.
La constante β est nommée 'second membre' .
Les constantes λ1,...,λn sont les 'coefficients' de l'équation.
les symboles x1,...,xn sont désignés comme les 'inconnues' de l'équation.
Une 'solution' d'une équation λ1x12x2+...+λnxn=β est un n-uple de constantes (α1,...,αn) de Kn telle que l'égalité: λ1α12α2+...+λnαn=β soit vraie.

Exemples

Pour les équations d'ordre peu élevé on utilise en pratique x,y,z, ... pour désigner les inconnues plutôt que des variables indicées.
x-y=-1 est une équation à deux inconnues à coefficients dans ℚ (ou ℝ ou ℂ). Le couple (0,1) est une solution, le couple (0,0) n'en est pas une.
√2x+(2+i)y+3z=2 est une équation à 3 inconnues à coefficients complexes. Le triplet (√2,0,0) est une solution de cette équation.
Une équation est dite 'homogène' si son second membre est nul.
Pour toute équation linéaire, nous appelerons 'équation homogène associée' , l'équation linéaire obtenue en remplaçant le second terme par 0.

Premiers résultats

Remarquons tout d'abord qu'une application du type (x1,...,xn) → λ1x12x2+...+λnxn correspond exactement à ce que nous avons appelé une forme linéaire sur Kn.
Une équation linéaire à n-inconnues peut donc être réécrite de façon synthétique :
f(X)=β où f est une forme linéaire sur Kn , c'est à dire un élément du dual de Kn et l'unique inconnue X représente un vecteur de Kn.
Cette remarque étant faite;
Les solutions d'une équation linéaire homogène dont tous les coefficients ne sont pas nuls, correspondent donc au noyau d'une forme linéaire non nulle, c'est à dire à un hyperplan de Kn.
On voit aussi tout de suite que:
Si X1 et X2 sont deux solutions de f(X)=β, alors X1-X2 est solution de l'équation homogène associée f(X)=0.
On en déduit aussitôt le forme des solutions d'une équation linéaire quelconque.
L'ensemble des solutions de l'équation linéaire f(X)=β (f≠0) est de la forme X1+H où H est un hyperplan de Kn noyau de la forme linéaire f. Un tel ensemble se nomme 'hyperplan affine' .
Représentation des solutions de x-y=-1 dans ℝ2

Image: http://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations
'Résoudre' une équation consiste à déterminer l'ensemble de toutes ses solutions.

Systèmes d'équations linéaires

Comme son nom l'indique un 'système d'équations linéaires' consiste en la donnée simultanée de m équations linéaires à n inconnues. Nous utiliserons pour les coefficients une notation indexée double. Le premier indice (ligne) référence le numéro de l'équation, le second (colonne) référence la variable.
Ainsi formellement un tel système de m équations à n inconnues s'écrit:
α1,1x1+...+α1,nxn1
α2,1x1+...+α2,nxn2
....................................
αm,1x1+...+αm,nxnm
Comme pour les équations uniques nous avons la notion de solution d'un tel système:
Un n-uple (a1, ... ,an) est 'solution du système' s'il est solution de chacune des m équations du système.
Il apparaît donc que:
L'ensemble des solutions d'un système est l'intersection des ensembles des solutions de chaque équation du système.
Du point de vue de la résolution d'un système, nous pouvons éliminer les lignes dont tous les coefficients sont nuls. En effet pour une telle équation, soit le second membre est aussi nul, auquel cas tout élément de Kn est solution, donc le système a les mêmes solutions que le système obtenu en enlevant l'équation nulle, soit le second membre n'est pas nul, auquel cas il n'y a aucune solution, ni à l'équation, ni au système. Nous ferons donc par la suite toujours cette supposition implicite, qu'aucun premier membre du système n'est identiquement nul.
Les solutions d'un système apparaissent donc comme des intersections d'hyperplans affines.
Voici une représentation d'un ensemble de solutions (intersection de 3 plans dans l'espace).

Image: http://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations

Exemples

Voici quelques exemples de résolutions graphiques:
Un système de deux équations
à deux inconnues avec solution unique
Un système de deux équations
à deux inconnues sans solution

Image: http://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations

Image: http://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations
Un système de trois équations
à 2 inconnues sans solutions
Un système de trois équations
à deux inconnues avec une solution unique

Image: http://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations

Image: http://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations
Voici maintenant quelques définitions semblables à ce que nous avons vu pour les équations uniques:
'Résoudre' un système c'est en déterminer toutes les solutions.
Deux systèmes sont dits 'équivalents' s'ils ont même ensemble de solutions.
Un système est dit 'homogène' si les seconds membres de toutes les équations sont tous nuls, autrement dit si toutes les équations du système sont homogènes.
Si S est un système quelconque, le 'système homogène associé' est le système obtenu en annulant tous les seconds membres des équations.
La propriété suivante est à peu près évidente:
Soit S est un système et X1=(a1,...,an) une solution de S, alors toutes les solutions de S sont de la forme X1+X où X est une solution du système homogène associé à S.
Il en résulte que:
Les solutions des systèmes d'équations linéaires sont des 'variétés linéaires affines' (translatés de sous-espaces de Kn).
En effet les solutions des systèmes homogènes sont des intersections d'hyperplans vectoriels.

Aspect matriciel

De la même façon qu'on peut réécrire les équations linéaires de manière 'globale' on peut le faire aussi pour les systèmes.
Soit donc un système:
α1,1x1+...+α1,nxn1
α2,1x1+...+α2,nxn2
....................................
αm,1x1+...+αm,nxnm
Désignons par A la matrice des coefficients A=(αi,j)1≤i,j≤n, que l'on appelle la 'matrice du système'. Désignons comme précédemment par X le vecteur colonne de coordonnées (x1,...,xn) et B le vecteur colonne de coordonnées (β1,..., βn). Le système s'écrit alors sous la forme d'une équation unique:
AX=B
L'équation homogène associée:
AX=0
a pour solutions le sous-espace Ker(u) ou u est l'endomorphisme de Kn ayant A pour matrice dans la base canonique de Kn
D'où nous concluons:
Le système a pour solutions une variété affine de même dimension que Ker(u).
Le 'rang' du système est par définition le rang de la matrice A.