Définition

Commençons par un résultat simple mais important:
Soit f une application linéaire de E dans E (endomorphisme de E). Soient B et B' deux bases de E. On pose:
A=Mat(f,B)
B=Mat(f,B')
Alors Det(A)=Det(B).

Soit P la matrice de passage de B à B' alors on a entre A et B, la relation:
B=PAP-1 d'où nous tirons:
Det(B)=Det(P)Det(A)Det(P-1)=Det(P)Det(A)Det(P)-1=Det(A)
Cette remarque nous permet de poser la définition suivante:
Si E est un espace de dimension finie, et si f désigne un endomorphisme de E, on désigne par 'déterminant de f' (notation Det(f)), le déterminant de la matrice de f relativement à n'importe quelle base (ils sont tous égaux).

Propriétés

Elles découlent toutes des résultats sur les déterminants des matrices.
f automorphisme de E ⇔ Det(f) ≠ 0
Det(gof)=Det(g)Det(f)
Si f est inversible Det(f-1)=Det(f)-1
Det(λf)=λnDet(f)
Mais attention! Le déterminant d'une somme n'est en général pas égal à la somme des déterminants.

Café Python

Voici un programme qui utilise une librairie pour calculer un déterminant de matrice: