En pratique la plupart des résultats d'algèbre linéaire concourent à
résoudre les systèmes d'équations du premier degré, justement appelés
'systèmes linéaires'.
La théorie consiste dans un premier temps à
décider de l'existence de solutions et de leur forme. Ce travail
préparatoire se fait au moyen d'un calcul de rang.
La théorie des
déterminants trouve son origine dans la recherche d'un procédé de
calcul systématique permettant d'établir le rang d'un système, de
prédire si une matrice carrée est inversible, de calculer son inverse.
Pour la dimension 2, les résultats sont simples et connus depuis fort
longtemps.
On a donc tenté de généraliser avec succès ces techniques.
Cependant bien qu'on dispose d'un critère formel pour établir si une
matrice est inversible et de formules explicites pour calculer son
inverse. Ces formules peuvent, en pratique, difficilement être mises en
oeuvre pour des matrices de grande dimension. Les temps de calcul
évoluent comme n! où n est la dimension des matrices. Il faudra donc se
tourner vers d'autres heuristiques.
Il n'en reste pas moins que le
déterminant peut être interprété comme une grandeur physique (une
surface, un volume, ou plus généralement une mesure en dimension n). Il
n'est donc pas étonnant qu'on le retrouve en calcul intégral.