En pratique la plupart des résultats d'algèbre linéaire concourent à résoudre les systèmes d'équations du premier degré, justement appelés 'systèmes linéaires'.
La théorie consiste dans un premier temps à décider de l'existence de solutions et de leur forme. Ce travail préparatoire se fait au moyen d'un calcul de rang.
La théorie des déterminants trouve son origine dans la recherche d'un procédé de calcul systématique permettant d'établir le rang d'un système, de prédire si une matrice carrée est inversible, de calculer son inverse.
Pour la dimension 2, les résultats sont simples et connus depuis fort longtemps.
On a donc tenté de généraliser avec succès ces techniques. Cependant bien qu'on dispose d'un critère formel pour établir si une matrice est inversible et de formules explicites pour calculer son inverse. Ces formules peuvent, en pratique, difficilement être mises en oeuvre pour des matrices de grande dimension. Les temps de calcul évoluent comme n! où n est la dimension des matrices. Il faudra donc se tourner vers d'autres heuristiques.
Il n'en reste pas moins que le déterminant peut être interprété comme une grandeur physique (une surface, un volume, ou plus généralement une mesure en dimension n). Il n'est donc pas étonnant qu'on le retrouve en calcul intégral.