Définition

Soit A =(αi,j) 1 ≤ i,j ≤ n une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans K. On pose:
Det(A) = Σ sgn(σ)α1,σ(1)α2,σ(2)...αn,σ(n)
σ∈Sn
et on appelle ce nombre le 'déterminant' de la matrice A.

Notations

Le déterminant d'une matrice se note avec des barres verticales, comme ceci:
α 1 1 α 1 2 α 1 n α 2 1 α 2 2 α 2 n α m 1 α m 2 α m n
Voici une appliquette générant des matrices carrées d'ordre 2, 3 ou 4 à coefficients dans un corps que vous pouvez choisir.
Leur déterminant s'affiche à chaque nouveau choix.
Matrice A
ℤ/5ℤ
Ordre de la matrice carrée A  :

Principales propriétés

Le lien avec les déterminants d'un système de vecteurs est immédiat.
Le déterminant d'une matrice est le déterminant par rapport à la base canonique de Kn du système de n vecteurs formés par ses n lignes.
Le déterminant d'une matrice est donc une fonction multilinéaire alternée de ses lignes. En conséquence on ne change pas le déterminant d'une matrice en ajoutant à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes. Si on permute les lignes d'une matrice, le déterminant est multiplié par la signature de la permutation.
Det(A) ≠ 0 est un critère d'indépendance linéaire des lignes de A.
Voici un autre résultat intéressant:
Le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposée.
Det(tA)=Det(A)

Dans le développement du déterminant de A le terme pour lequel les indices colonnes sont 1, 2, ... ,n dans cet ordre est: sgn(σ-1σ-1 (1),1...ασ-1(n),n
Ce qui fait que le déterminant de A peut aussi bien être donné par la formule:
Det(A) = Σ sgn(σ-1σ-1(1),1...ασ-1(n),n
σ∈Sn
Mais comme sgn(σ)=sgn(σ-1) et que l'application σ → σ-1 est une bijection de Sn sur lui-même. La formule proposée s'en suit immédiatement.
D'où nous concluons tout de suite:
Le déterminant d'une matrice est le déterminant par rapport à la base canonique de Kn du système de n vecteurs formés par ses n colonnes.
Le déterminant d'une matrice est donc une fonction multilinéaire alternée de ses colonnes. En conséquence on ne change pas le déterminant d'une matrice en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes. Si on permute les colonnes d'une matrice, le déterminant est multiplié par la signature de la permutation.
Det(A) ≠ 0 est un critère d'indépendance linéaire des colonnes de A.
Det(A) ≠ 0 ⇔ A inversible
Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux. En particulier, le déterminant de la matrice unité est égal à 1.

Dans le développement en somme tous les termes sont nuls sauf un correspondant à σ = Id, et ce terme est égal au produit de tous les élements diagonaux.

Déterminant d'un produit

Le résultat qui suit est capital:
L'application A → Det(A) de M(n,K) dans K est un homomorphisme de ((M(n,K),×) dans (K,×), c'est à dire que:
Det(AB)=Det(A)Det(B)

On désigne par D le déterminant par rapport à la base canonique de Kn. Soit f l'endomorphisme de Kn → Kn associé à la matrice A. Soit B la base canonique de Kn . Considérons l'application Df : (x1,...,xn) → Det((f(x1), ... ,f(xn)),B).
Df est manifestement une forme n-linéaire alternée. Donc Df=kD en vertu d'un théorème précédent. En appliquant cela à la base canonique de Kn soit (a1,...,an), il vient k=Df(a1,...,an).
Donc Df(x1,...,xn)=Df(a1,...,an)D(x1,...,xn).
On voit de suite sur la définition que:
Df(a1,...,an)=Det(A) donc:
D(f(x1),...,f(xn))=Det(A)D(x1,...,xn).
Par conséquent si g est associé à B comme f à A.
D(g(x1),...,g(xn))=Det(B)D(x1,...,xn).
Posons maintenant h=fog, on a alors:
D(h(x1),...,h(xn))=Det(AB)D(x1,...,xn).
Mais aussi:
D(h(x1),...,h(xn))=D(f(g(x1)),...,f(g(xn)))= Det(A)D(f(x1),...,f(xn))=Det(A)Det(B)D(x1,...,xn) d'où l'égalité cherchée.
Ce résultat admet le corollaire suivant:
Pour toute matrice A inversible Det(A-1)=Det(A)-1.

Café Python

Voici un programme qui calcule le déterminant d'une matrice en utilisant la définition.