Déterminant système de vecteurs
Dans tout ce qui suit E designe un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K de caractéristique ≠ 2. B=(u1,...,un) désigne une base de E. Le lecteur est supposé familiarisé avec les groupes de permutations.

Applications antisymétriques

Une application f: En → K est dite 'antisymétrique' si elle vérifie:
f(xτ(1),...,xτ(n))=-f(x1,...,xn)
pour toute transposition τ des entiers {1,...,n}
La propriété suivante résulte de la définition:
Si f est antisymétrique si et seulement si pour toute permutation σ de {1, ..., n} on a: f(xσ(1),...,xσ(n))= sgn(σ)f(x1,...,xn)
où sgn(σ) désigne la signature de la permutation σ.

La propriété est évidemment vraie si σ est une transposition. Inversement cela résulte de la décomposition d'une permutation en transpositions et de la définition de la signature
La vérification de la propriété suivante est immédiate:
Si K est de caractéristique ≠ 2 et si f est une forme multilinéaire sur E, alors il y a équivalence entre:

Montrons le pour une forme bilinéaire.
On a toujours: f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y).
Si f est alternée il vient 0=0+f(x,y)+f(y,x)+0, soit f(x,y)=-f(y,x)
Supposons réciproquement f antisymétrique alors f(x,x)=-f(x,x) en échangeant les deux variables;
d'où 2f(x,x)=0 et f(x,x)=0.
Fabriquer des applications antisymétriques n'est pas difficile. Prenons une application f quelconque de En dans F. Soit Af :En → F définie par:
Af(x1,...,xn) = Σ sgn(σ)f(xσ(1),...,xσ(n))
σ ∈ Sn
La somme étant étendue à toutes les permutations de {1,...,n} formant le groupe symétrique Sn.
Af est antisymétrique parce que si τ est une transposition sgn(τoσ)=sgn(τ)×sgn(σ)=-sgn(σ), et que σ → τoσ est une bijection de Sn sur lui-même.
Af s'appelle "l'antisymétrisée" de f

Déterminant d'un système de vecteurs relativement à B

La propriété suivante est extrêmement importante:
L'espace des formes n-linéaires alternées sur En est de dimension 1. Autrement dit, il existe une et une seule application n-linéaire alternée sur En vérifiant:
f(u1,u2,...,un)=1
Cette application se nomme le 'déterminant de base B'.
Nous donnons la démonstration dans le cas n=3.
La démonstration en toute généralité n'est pas plus difficile mais les notations (sommations multiples sur indices multiples) sont très lourdes.
Prenons donc 3 vecteurs décomposés sur la base B:
x1=au1+bu2+cu3
x2=du1+eu2+fu3
x3=gu1+hu2+iu3
Soit φ une forme trilinéaire alternée sur E. Calculons φ(x1,x2,x3)=φ(au1+bu2+cu3,du1+eu2+fu3,du1+eu2+fu3)
En développant par linéarité nous aurons une somme de 27 termes sous la forme de coefficients précédant des constantes φ(ui,uj,uk). Or ces constantes sont nulles chaque fois que deux indices sont égaux dans le triplet (i,j,k) puisque φ est alternée. En définitive il restera donc 6 termes correspondant aux permutations de (1,2,3). On a donc:
φ(x1,x2,x3)=aeiφ(u1,u2,u3)+afhφ(u1,u3,u2)+bdiφ(u2,u1,u3)+bfgφ(u2,u3,u1)+cdhφ(u3,u1,u2)+cegφ(u3,u2,u1)
Soit encore puisque φ est antisymétrique en posant k=φ(u1,u3,u2)
φ(x1,x2,x3)= aeik-afhk-bdik+bfgk+cdhk-cegk
Donc φ(x1,x2,x3)=k(aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg)
Or l'application (x1,x2,x3) → (aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg) est antisymétrique alternée, car c'est l'antisymétrisée du produit des 3 formes coordonnées par rapport à la base (u1,u2,u3). Ceci démontre donc notre affirmation.
Donc si on a un système S de n vecteurs:
xi= λi,1u1i,2u2+...+λi,nun pour 1 ≤ i ≤ n
Leur déterminant par rapport à B est défini par:
Det(S,B) = Σ sgn(σ)λ1,σ(1)λ2,σ(2)...λn,σ(n)
σ∈Sn
C'est l'unique forme f n-linéaire alternée sur En telle que f(u1,...,un)=1
Les propriétés suivantes résultent de la définition (une base est supposée fixée dans E):
Le déterminant d'un système ne change pas quand on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs.
Si on fait subir aux vecteurs du système une permutation, le déterminant du nouveau système est égal à l'ancien multiplié par la signature de la permutation (+1 ou -1).
Le déterminant est un critère d'indépendance linéaire. S libre ⇔ S base ⇔ Dét(S,B) ≠ 0.

Il est évident que s'il existe une relation linéaire entre les xi leur déterminant est nul. Supposons maintenant qu'ils forment un système libre, donc une base puisqu'on est en dimension n. Alors si D est le déterminant par rapport à B et D' le déterminant par rapport à (x1,...,xn) on a D=kD' avec k ≠ 0 puisque D'(x1,...,xn)=1 par définition. On a donc D(x1,...,xn) ≠ 0.

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