Définition

Tout ce qui suit concerne exclusivement les espaces vectoriels de dimension finie.
Un endomorphisme u est 'diagonalisable' s'il existe une base B telle que M(u,B) soit une matrice diagonale.

Caractérisation des endomorphismes diagonalisables

Si u est diagonalisable alors quitte à permuter les vecteurs de la base on peut supposer que relativement à une base B sa matrice est:
λ1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 λ1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 λ2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 λ2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 λp 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λp
On voit alors que le polynome caractéristique de u est:
(x-λ1)r1(x-λ2)r2...(x-λp)rp
où chaque ri est la mutiplicité de λi comme racine du polynôme caractéristique de u. Il en résulte que:
Le polynôme caractéristique de u possède toutes ses racines dans K.
Pour chaque valeur propre la dimension du sous-espace propre associé est égale à la multiplicité de la valeur propre comme racine du polynôme caractéristique.
En outre ces conditions nécessaires sont bien évidemment suffisantes et caractérisent donc les endomorphismes diagonalisables.

Un exemple traité

On veut diagonaliser l'endomorphisme u ayant pour matrice:
0 1 1
-1/2 3/2 -1/2
3/2 -3/2 1/2
On calcule le polynôme caractéristique et on remarque que les valeurs propres sont toutes simples:
valeur propre 1 : vecteur propre associé: (1,1,0)
valeur propre -1 : vecteur propre associé: (-1,0,1)
valeur propre 2 : vecteur propre associé: (0,1,-1)
Par rapport à la base ((1,1,0),(-1,0,1),(0,1,-1)) la matrice de u prend la forme:
1 0 0
0 -1 0
0 0 2