Pour le moment nous avons parlé d'espaces vectoriels de dimension finie sans préciser ce qu'est la dimension d'un tel espace. Le temps est venu de combler cette lacune.
Supposons d'abord que E possède une base à un seul vecteur B=(u). Alors il est facile de prouver que toute base de E aura un seul vecteur, ce vecteur étant un multiple non nul de u. En effet si S=(v1,v2), on peut écrire v1= αu et v2=βu. Si α et β ne sont pas tout deux nuls, supposons par exemple α ≠ 0, on a alors v2=βα-1v1 qui est une relation linéaire entre v1 et v2. On dit qu'un tel espace est de dimension 1 (une droite vectorielle). Nous allons généraliser ce résultat.

Théorème fondamental

Si E possède une base formée de n vecteurs, alors n+1 vecteurs sont forcément liés.

Nous venons de démontrer juste au dessus le théorème dans le cas où n=1. Nous allons procéder par récurrence sur n.
Soit donc la base B=(u1,....,un) et soit S=(v1,...,vn+1)
On décompose les vecteurs de S sur la base B
vjj,1u1j,2u2+...+αj,nun
Si tous les αj,n étaient nuls pour 1 ≤ j ≤ n, alors de fait les n+1 vecteurs vj seraient combinaisons linéaires des vecteurs u1, ..., un-1 qui sont une base d'une sous-espace F de E, les vecteurs vj seraient donc tous dans F, et en appliquant l'hypothèse de récurrence, tout sous-système de S à n élément serait lié, donc S serait lui-même lié.
On peut donc supposer que tous les αj,n ne sont pas nuls. Quitte à changer l'ordre des vecteurs du système S on peut supposer que αn+1,n≠0. Ceci nous permet d'exprimer un en fonction de vn+1 et des ui pour 1 ≤ i ≤ n-1:
un=(αn+1,n)-1(vn+1n+1,1u1n+1,2u2-...-αn+1,n-1un-1)
Nous allons maintenant reporter l'expression de un dans chacune des n premières équations pour obtenir:
vjj,1u1j,2u2+...+αj,nn+1,n)-1(vn+1n+1,1u1n+1,2u2-...-αn+1,n-1un-1)
Donc les n vecteurs vjj,nn+1,n)-1vn+1 appartiennent tous au sous-espace F ayant pour base (u1,...,un-1). On peut donc leur appliquer l'hypothèse de récurrence et conclure à l'existence d'une relation linéaire entre eux, qui nous fournira une relation linéaire pour le système S=(v1,...,vn+1)
La conséquence immédiate de ce résultat est la suivante:
Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d'éléments.

Soient B1 et B2 deux bases d'un même espace vectoriel de dimension finie E. D'après le théorème précédent puisque B1 est une base B2 ne peut pas avoir plus d'éléments que B1, sans cela ce serait un système lié. Mais puisque B2 est une base aussi la réciproque est vraie. En définitive, B1 et B2 ont nécessairement le même nombre d'éléments.

Définitions

Dans un espace de dimension finie, le nombre d'éléments commun à toutes les bases, s'appelle la 'dimension' de l'espace.
Il résulte de ce qui précède que:
Tout sous-espace d'un espace de dimension finie est lui-même de dimension finie et que sa dimension est inférieure ou égale à celle de l'espace entier. En outre, si la dimension d'un sous-espace est égale à celle de l'espace, le sous-espace lui-même est égal à l'espace entier.

Supposons E de dimension n et F sous-espace de E. Considérons dans F tous les systèmes libres. Leur nombre d'éléments de peut excéder n. Prenons un tel système ayant un nombre maximal d'éléments, c'est nécessairement une base de F. Par ailleurs, le théorème de la base incomplète nous dit qu'il est possible de complèter toute base de F en une base de E. Mais si la base de F comporte n éléments c'est bien évidemment déjà une base de E.
Par analogie avec la dimension 3 de l'espace usuel.
Dans un espace de dimension finie n, tout sous-espace de dimension n-1 est appelé un 'hyperplan'.

Autres conséquences:

Les propriétés suivantes découlent immédiatement des définitions et des propriétés précédentes:

Exemples

  1. L'espace Kn est de dimension n (base canonique)
  2. L'espace des polynômes de degré ≤ n est de dimension n+1 (base B=(1,x,x2,...,xn))
  3. Les solutions sur ℝ de l'équation différentielle f'=f forment un espace vectoriel de dimension 1. (Multiples de la fonction x → ex)