Espaces duaux

Si E désigne un espace vectoriel. On appelle 'dual' de E (notation E*). L'espace vectoriel des formes linéaires sur E.
Nous venons de voir précédemment que:
Si E est de dimension finie, E* aussi et les deux espaces ont même dimension.
Si B=(u1,...,un), la base des formes linéaires coordonnées par rapport à B est une base de E* appelée 'base duale' de B.
Le dual du dual de E se note E** et s'appelle son 'bidual'.
Pour tout x de E on définit l'élément x de E** par x(φ)=φ(x).
L'application x → x constitue un isomorphisme de E sur E** permettant d'identifier les deux espaces. On le voit tout de suite en constatant que si (u1,...,un) est une base de E, alors (u1,...,un) est une base de E**.

Transposition

Soient E et F deux espaces vectoriels, E* et F* les espaces duaux. Soit f : E → F une application linéaire. Alors pour toute forme linéaire φ de F* l'application φof est un élément de E*. L'application φ → φof se note tf et s'appelle l'application 'transposée' de f, c'est une application linéaire. En outre si les espaces sont de dimension finie l'application f → tf de L(E,F) dans L(F* ,E*) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Les deux espaces sont de dimension m×n de sorte que pour montrer que f → tf est un isomorphisme il suffit de montrer qu'elle est injective, donc que son noyau est nul. Tout revient donc à montrer que si tf=0 alors f=0. Donc que si φof=0 ∀ φ ∈ F* alors f est nulle. Il suffit pour le voir de prendre pour φ toutes les formes coordonnées par rapport à une base de F.
On vérifie que:
Si on identifie E avec E** et F avec F** par l'isomorphisme ci-dessus, alors on a t(tu)=u
Le résultat qui suit peut s'avérer fort utile pour calculer le rang d'un système de vecteurs:
Le rang d'une application linéaire est égal au rang de sa transposée. rg(f) = rg(tf).

Soit B=(u1,...,up) une base de Ker(f) dans E, que nous complétons en une base de E soit B'=(u1,...,up,up+1,...,un).
Posons maintenant v1=f(up+1),....,vn-p=f(un), que nous complétons en une base B"=(v1,...,vn-p,vn-p+1,...,vn) de F, de sorte que les formes coordonnées par rapport aux vecteurs de B" forment une base (v1*,...,vn*) du dual de F. Les images par tf du système (v1*,...,vn-p*) sont les formes coordonnées par rapport à up+1,....,un et sont donc linéairement indépendantes. Cela prouve que rg(tf) ≥ rg(f). Pour les mêmes raisons on a rg(t(tf)) ≥ rg(tf) donc après identification de ttf avec f: rg(f) ≥ rg(tf) et finalement rg(f)=rg(tf)