Somme de deux matrices

Soit une matrice :

A = α 1 1 α 1 2 α 1 n α 2 1 α 2 2 α 2 n α m 1 α m 2 α m n

et une matrice B de même type que A

B = β 1 1 β 1 2 β 1 n β 2 1 β 2 2 β 2 n β m 1 β m 2 β m n

Alors la somme de A et B, est la matrice

A + B = γ 1 1 γ 1 2 γ 1 n γ 2 1 γ 2 2 γ 2 n γ m 1 γ m 2 γ m n

où ∀ (i,j) ∈ {1,...,m}×{1,...,n} γi,ji,ji,j

Exemple:
1 2 5
-4 0 7
+
-2 6 0
-3 1 8
=
-1 8 5
-7 1 15
Voici une appliquette qui donne des exemples de sommes de matrices.
Comme au paragraphe précédent, vous fixez le nombre de lignes, le nombre de colonnes et un corps parmi un choix restreint.
Un exemple aléatoire est généré.
Matrice A
Matrice B
Matrice A+B
ℤ/5ℤ
Nombre de lignes     :
Nombre de colonnes :

Produit par un scalaire

Soit une matrice

A = α 1 1 α 1 2 α 1 n α 2 1 α 2 2 α 2 n α m 1 α m 2 α m n

et un scalaire λ

alors la matrice λA est par définition, la matrice

λA = λα 1 1 λα 1 2 λα 1 n λα 2 1 λα 2 2 λα 2 n λα m 1 λα m 2 λα m n
Exemple:
2
1 2 5
-4 0 7
=
2 4 10
-8 0 14
Voici une appliquette qui donne des exemples de produits de matrices par des scalaires.
Comme précédemment, vous fixez le nombre de lignes, le nombre de colonnes et un corps parmi un choix restreint.
Un exemple aléatoire est généré.
Matrice A
Matrice λA
ℤ/5ℤ
Nombre de lignes     :
Nombre de colonnes :

Espace M(m,n,K)

Nous reconnaissons que l'addition et la loi externe définies plus haut sur l'ensemble M(m,n,K) correspond exactement à l'addition et à la loi externe sur l'espace Km×n. M(m,n,K) devient donc avec ces opérations un K-espace vectoriel.
En particulier:
Une base de M(m,n,K) est obtenue en prenant les matrices:
Ai,j= (αk,h) où αk,h=0 sauf si k=i et h=j auquel cas αi,j=1
La base ci-dessus s'appelle la 'base canonique' de M(m,n,K).

Café Python

Voici comment on peut utiliser une bibliothèque (numpy) pour additionner des matrices, les multiplier par des scalaires: