Définition

Une 'forme linéaire' sur un K-espace vectoriel E est tout simplement une application linéaire de E dans K, considéré comme espace vectoriel sur lui-même.
Il résulte de la définition qu'une forme linéaire est soit nulle soit surjective. Son noyau est donc soit l'espace E tout entier soit un hyperplan.

Un exemple fondamental

Soit E un espace de dimension finie admettant une base B=(u1,...,un) on désigne par ck l'application λ1u1+...+λnun → λk.
ck est donc l'application qui à tout vecteur v associe sa k-ième coordonnée dans la base B. Les ck sont autant de formes linéaires, c'est une évidence, mais de fait toute forme linéaire est combinaison linéaire de ces formes coordonnées, et on a même plus:
Les n formes ck forme une base de l'espace vectoriel des formes linéaires sur E.

Considérons une forme linéaire f sur E et soit v=λ1u1+...+λnun un vecteur de E. On peut écrire f(v)=λ1f(u1)+...+λnf(un).
Introduisons maintenant les n nombres bk =f(uk), sachant que λk =ck(v), on peut écrire:
f(v)= c1(v)b1+...+cn(v)bn
Soit encore:
f(v)=(b1c1+... + bn cn)(v) Ce qui prouve que les ck génèrent l'espace L(E,K) Supposons maintenant que:
b1c1+...+bncn=0 Alors cela veut dire que pour tout vecteur v :
c1(v)b1+...+cn(v)bn=0 Donc en prenant pour v tous les vecteurs de B un à un on obtient:
b1=b2=...=bn=0
Ce qui prouve que les ck forment un système libre, donc une base de L(E,K).

Une conséquence importante

Le théorème qui suit est largement utilisé en géométrie affine pour la représentation des variétés affines par des équations cartésiennes:
Dans un espace de dimension n tout sous-espace de dimension p ≤ n peut s'écrire (de façon non unique) comme intersection de n-p hyperplans.

Soit E un espace vectoriel de dimension n et F un sous-espace de dimension p Soit B=(u1,...,up) une base de F que nous complétons en une base B'=(u1,...,up,up+1,...,un) de E. Soient fp+1, fp+2, ... , fn les n-p formes coordonnées par rapport à cette base et Hp+1, ...., Hn leurs noyaux. On voit que ce sont des hyperplans et que F=Hp+1∩...∩ Hn.