Systèmes de vecteurs

Un 'système de vecteurs' d'un espace vectoriel E consiste en la donnée d'une suite finie :
(u1,u2,...,un) de vecteurs de l'espace.
C'est donc un élément de l'espace produit En

Combinaisons linéaires

Soit S=(u1,u2,....,un) un système de vecteurs de E, espace vectoriel sur K.
Soit également (λ12,..., λn) un système de scalaires du corps K.
On appelle 'combinaison linéaire' du système S avec les 'coefficients' λi le vecteur: λ1u12u2+...+λnun
La proposition suivante se vérifie sans difficulté:
Soit S=(u1,u2,...,un) un système de vecteurs de E, espace vectoriel sur K. Alors, l'ensemble des combinaisons linéaires du système S est un sous-espace de E, et c'est le plus petit sous-espace de E contenant tous les ui.
Le résultat qui suit est aussi fort utile:
Si A désigne une partie quelconque de E. Il existe un plus petit sous-espace de E contenant A. On le note 'Vect(A)' c'est l'ensemble des combinaisons linéaires des sytèmes formés à partir d'éléments de A.
La preuve est évidente. L'intersection de tous les sous-espaces contenant A est encore un sous-espace contenant A et c'est évidemment le plus petit. En outre, tout sous-espace contenant A doit contenir toute combinaison linéaire de vecteurs de A.
Voyons ce que cela donne dans l'espace ℝ3 pour des sytèmes de deux vecteurs non multiples l'un de l'autre.
Les sous-espaces engendrés s'apellent alors des plans.
L'appliquette suivante vous permet de générer des systèmes de 3 vecteurs, elle montre les plans engendrés par tous les sous-systèmes formés de deux vecteurs parmi ces trois. Vous pouvez arrêter la rotation à tout moment en cliquant sur l'animation.

Systèmes générateurs

On dit qu'un système S=(u1,u2,....,un) est 'générateur' pour l'espace E si tout vecteur de E peut s'écrire comme une combinaison linéaire des ui.
Cela revient à dire que E est le plus petit sous-espace contenant tous les ui.

Exemple:

le système (1,x,x2,x3) est un système générateur de l'espace des polynômes de degré ≤ 3.

Remarque:

Tout système dont on peut extraire un système générateur est lui-même générateur.

Espaces de dimension finie

On dit que E est un 'espace de dimension finie' sur K si E admet un système fini de générateurs.

Exemples:

  1. L'espace de tous les polynômes (tout degrés confondus) n'est pas de dimension finie parce que dans tout système fini de polynômes (p1,p2,..., pn) il y a un nombre M= max(d°(p1),d°(p2),...,d°(pn)) et que toute combinaison linéaire des pi ne peut avoir un degré > M.
  2. L'espace ℝ3 est de dimension finie car engendré par ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)). Il en est de même de tous les espaces ℝn

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