Définition

Dans tout ce paragraphe nous considérons un espace vectoriel E de dimension finie n, et une forme sesquilinéaire définie positive appelée (suivant notre convention précédente) 'produit-scalaire' et notée (x,y) → x.y
Un automorphisme u de E est dit 'orthogonal' s'il conserve le produit scalaire, au sens suivant:
u(x).u(y)=x.y ∀ (x,y) ∈ E × E
On peut immédiatement donner une autre définition équivalente des automorphismes orthogonaux.
Sachant que u(x).y=x.u*(y) et donc u(x).u(y)=x.u*(u(y)), on voit que les automorphismes orthogonaux sont exactement ceux qui vérifient:
u*=u-1
La propriété suivante se vérifie simplement.
Les automorphismes orthogonaux forment un sous-groupe O(E) du groupe linéaire GL(E).
Il résulte immédiatement de la définition que:
Tout automorphisme orthogonal transforme une base orthonormale en une autre base orthonormale.
Ce résultat admet une réciproque, plus précisément:
Soit u un endomorphisme de E transformant une base orthonormale B=(x1,...,xn) en une autre base orthonormale B'=(y1,...,yn). Alors u est un automorphisme orthogonal.

En effet supposons a=a1x1+...+anxn et b=b1x1+...+bnxn alors
a . b = i = 1 n a i b i ¯
puisque B est orthonormée
Mais on a:
u a . u b = i = 1 n a i y i . i = 1 n b i y i = i = 1 n a i b i ¯
puisque B' est également orthonormée.
Mais nous avons aussi:
Soient B1 et B2 , deux bases orthonormales de E. Il existe un et un seul automorphisme orthogonal u transformant B1 en B2.

En effet, il existe une et une seule application linéaire transformant B1 en B2. Puisque B1 et B2 sont des bases c'est un automorphisme. Puisque B1 et B2 sont orthonormales il est orthogonal.
Signalons enfin dans l'espace euclidien ℝn :
Un automorphisme orthogonal conserve les angles (au signe près).
Cela résulte de la définition du produit scalaire au moyen du cosinus.

Exemples

Dans tous les exemples qui suivent les points sont identifiés aux vecteurs par M → OM.
  1. L'identité est un automorphisme orthogonal.
  2. L'application x → -x (symétrie centrale) est orthogonale.
    Voici une appliquette vous permettant de visualiser dans le plan une symétrie centrale.
    Chaque point du plan correspond à un vecteur.
    Déplacez le point M, l'application tracera le point M' image de M par la symétrie centrale.
    Voici une autre appliquette.
    Elle montre un polygone (rouge) et son image (bleue) par la symétrie centrale plane.
    Vous pouvez déplacer les sommets du polygone (rouge)
  3. De fait les deux exemples précédents sont des cas particuliers du suivant.
    Soit F un sous espace de E. La symétrie orthogonale s par rapport à F est ainsi définie. Si u est un vecteur de E soit u=v+w sa décomposition unique en une somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de F, alors s(u) est défini par s(u)=v-w. s est orthogonale. Cela se voit en prenant une base orthogonale de E réunion d'une base orthogonale de F avec une base orthogonale de F
    . Voici une appliquette vous permettant de visualiser dans le plan une symétrie orthogonale sur une droite (vecteur directeur vert).
    Voici une autre appliquette représentant un polygone ABCDE (rouge) et son image dans la symétrie orthogonale par rapport à une droite.
    Vous pouvez faire varier chaque sommet du polygone, mais aussi la droite elle-même.
    Voici maintenant une appliquette illustrant les symétries orthogonales dans l'espace à 3 dimensions.

Matrices orthogonales

Une matrice est dite orthogonale si elle est inversible et vérifie :
A*=A-1
On vérifie immédiatement que:
Les matrices orthogonales forment un sous-groupe de GL(n,K).
Le lien entre les automorphismes orthogonaux et les matrices orthogonales résultent de ce que nous avons vu à la fin du paragraphe sur les endomorphismes adjoints.
Si B est une base orthonormale et u un automorphisme de E. Il y a équivalence entre:

Exemples

  1. Les matrices carrées réelles d'ordre 2 du type:
    ( cos(x) -sin(x) )
    sin(x) cos(x)
    sont orthogonales.
  2. Les matrices diagonales avec seulement des 1 ou des -1 sur la diagonale sont orthogonales.