K désigne un corps commutatif. E un espace vectoriel de dimension finie sur K.
On rappelle que pour tout endomorphisme u de E, le polynôme caractéristique de u est le polynôme à une indéterminée X à coefficients dans K:
pu(X)=Dét(u-Xi) où i désigne l'application identique de E dans E.
Ou encore:
pu(X)=Dét(A-XIn) où A est la matrice de u par rapport à une base quelconque et In désigne la matrice identité d'ordre n.
Cela dit, pour tout polynôme p(X) à coefficients dans K et tout anneau L contenant K comme sous-corps (on dit une extension de K) et tout élément V de L l'expression p(V) obtenue en subsituant V à l'indeterminée X a un sens.
Le théorème de Hamilton Cayley peut s'exprimer ainsi :
pu(u)=0 (égalité dans L(E))
ou encore :
Pour toute matrice A représentant u pu(A)=0 (égalité dans M(n,K))
Il existe une bonne trentaine de démonstrations valides de ce théorème, et aussi quelques autres non valides. Le lecteur interessé est renvoyé à la page de liens. Nous allons en donner une, mais avant de commencer, montrons sur un exemple, la signification de ce théorème.
Prenons A=
[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]
alors A2 =
[[ 30 36 42]
[ 66 81 96]
[102 126 150]]
et A3 =
[[ 468 576 684]
[1062 1305 1548]
[1656 2034 2412]]
Polynôme caractéristique de A:
-x3+15x2+18x
On peut vérifier que:
-A3+15A2+18A=0
Passons à la démonstration de ce théorème.

Nous étudions d'abord le cas où u est trigonalisable, c'est à dire qu'il existe une base B=(x1,..., xp) de E, telle que la matrice de u par rapport à B soit triangulaire supérieure. Considérons alors les sous espaces:
F1 engendré par (x1)
F2 engendré par (x1,x2)
........
Fi engendré par (x1, ... ,xi)
........
Fn =E engendré par (x1,...,xn)=B
Désignons maintenant par λ1, λ2, ... , λn les éléments diagonaux de la matrice triangulaire de u.
pu(u)= (u- λ1i)o(u- λ2i)o...o(u-λni) où i est l'identité.
Posant u-λpi=up
Il s'agit de démontrer que:
u1ou2o...oun=0
Donc que u1ou2o...oun(E)={0}
Soit encore:
u1ou2o...oun(Fn)={0}
Mais on a évidemment up(Fp) ⊆ Fp-1 pour tout p.
Donc,
u1ou2o...oun(Fn) ⊆ u1ou2o...oun-1(Fn-1)
Et de proche en proche:
u1ou2o...oun(Fn) ⊆ u1(F1)={0}
CQFD.
Le résultat est donc établi pour tout corps K dans lequel les endomorphismes sont trigonalisables, donc en particulier pour le corps ℂ des nombres complexes.
Supposons maintenant qu'on soit dans le cas où K=ℝ, alors on peut trigonaliser u dans ℂ, et écrire que la matrice A de u est de la forme A=B=PBP-1 où les trois matrices P, B, P-1 sont à coefficients complexes et B est triangulaire.
On a alors pu(A)=pu(PBP-1)=Ppu(B)P-1=P0P-1=0
Le résultat est donc établi pour toute matrice à coefficients réels, donc en particulier à coefficients entiers relatifs.
Regardons maintenant un peu ce qui se passe quand A est d'ordre 2.
( a b )
A =
c d
Le polynôme caractéristique de A est: X2-(a+d)X+(ad-bc)
( a2 +bc ab+bd )
A2 =
ac+dc bc+d2
( a2 +ad ab+bd )
(a+d)A =
ac+dc ad+d2
Donc pA(A) est une matrice dont les coefficients s'expriment comme des polynômes pi,j(a,b,c,d) à 4 variables 1≤i,j≤n.
Ceci est vrai non seulement pour l'ordre 2 mais pour tout n.
pAA) est une matrice dont les n2 coefficients s'expriment sous la forme:
pi,j1,11,2,...,αn,n)
où les pi,j sont des polynômes à n2 variables à coefficients entiers rationnels (dans ℤ). La démonstration du théorème d'Hamilton Cayley en toute généralité revient donc à démontrer que ces polynômes sont identiquement nuls. Mais pour que cela soit il suffit qu'il en soit ainsi pour toute matrice à coefficients dans ℤ, ce qui est le cas puisque ℤ ⊆ ℝ

Café Python

Voici un programme qui vérifie le théorème de Hamilton Cayley: