Involutions

K désigne un corps commutatif. En pratique K sera souvent égal à ℝ ou a ℂ.
On appelle 'involution' de K toute application:
λ → λ* , vérifiant les propriétés suivantes:
  1. C'est un homomorphisme de corps, c'est à dire:
    • (λ+μ)***
    • (λμ)**μ*
    • 1*=1
  2. Elle est involutive, c'est à dire:
    λ**
Tout cela revient à dire qu'une telle application est un automorphisme de K égal à son automorphisme réciproque.
Les exemples les plus importants sont les suivants:
  1. K= ℝ ou ℂ et λ*=λ (application identique). On appelle ce cas le cas 'orthogonal' réel ou complexe
  2. K=ℂ et λ*=λ (complexe conjugué). On appelle ce cas le cas 'hermitien' complexe

Formes hermitiennes

On suppose que E est un espace vectoriel sur le corps K et que K est muni d'une involution.
Une application f: E×E → K est appelée une 'forme sesquilinéaire' si elle vérifie les conditions suivantes:
Une forme 'hermitienne' est une forme sesquilinéaire vérifiant en outre:
f(y,x)=f(x,y)* ∀ (x,y) ∈ E.
Remarque: dans le cas orthogonal réel ou complexe, les formes hermitiennes sont simplement les formes bilinéaires symétriques.

Exemples

  1. Supposons K=E=ℝ. Alors l'application (x,y) → xy est hermitienne.
  2. Supposons E=K2 l'application ((x1,x2),(y1,y2)) → 2x1y1-3x2y2 est hermitienne.
  3. Supposons K=E= ℂ. Alors l'application (x,y) → xy est hermitienne.
  4. Soit E= ℝ4. Pour u=(x1,x2,x3,x4) et v=(y1,y2,y3,y4) vecteurs de E on pose f(u,v)=x1y1+x2y2+x3y3-cx4y4 où c est la vitesse de la lumière. f est une forme bilinéaire symétrique appelée la 'forme de Lorentz' et utilisée en théorie de la relativité.
  5. E désigne l'espace vectoriel des fonctions continues à valeurs complexes sur l'intervalle [0,1]
    L'application f définie ci-après est hermitienne.
    1
    f(u,v) = u(t) v(t) dt
    0

Matrice d'une forme sesquilinéaire

Nous allons maintenant généraliser les exemples 1 et 2 ci dessus. On suppose maintenant E de dimension finie n et soit B=(u1,...,un) une base de E. Soit f une forme sesquilinéaire sur E.
On désigne par A=(αi,j)1≤i,j≤n la matrice définie par αi,j=f(ui,uj). A s'appelle la 'matrice de la forme hermitienne' f par rapport à la base B.
Comme dans le cas des applications linéaires, une forme sesquilinéaire est entièrement déterminée par sa matrice, plus précisément :
Si x=x1u1+...+xnun et y=y1u1+...+ynun
alors
f(x,y) = Σ xiyj*αi,j
1≤i,j≤n
La preuve est immédiate.
Remarquons maintenant que:
f est hermitienne si et seulement si αj,ii,j*
De sorte qu'en particulier dans le cas orthogonal:
f est symétrique si et seulement si sa matrice l'est.
Dans le cas de la dimension finie cela nous permet donc de 'fabriquer' toutes les applications hermitiennes à partir de matrices hermitiennes. Ces formes s'organisent donc en un espace vectoriel de dimension n(n+1)/2.