Définition

Nous avons vu que l'image directe d'un sous-espace de la source , est un sous-espace du but . Nous pouvons donc appliquer cela au sous-espace E lui-même.
On appelle 'image' de l'application linéaire f: E → F le sous-espace de F défini par f(E)= {v ∈ F | ∃ u ∈ E v=f(u)}.
L'image de f se note traditionnellement Im(f).

Propriété

La propriété suivante résulte de la définition d'une surjection:
f surjective ⇔ Im(f)=F

Exemples

  1. Si nous prenons pour espace les polynômes de degré ≤ n, et pour application D: p → p' (polynôme dérivé). Im(f) est l'ensemble des polynômes de degré ≤ n-1.
  2. Si E= Kn F=K et p la première projection p(x1,...,xn)=x1 Im(p)=K.
  3. L'image de l'homothétie u → λu est soit {0} si λ=0 soit E si λ ≠ 0.