Cofacteurs

Soit A= (αi,j)1≤i,j≤n, une matrice carrée.
On appelle cofacteur d'indice i,j de A le nombre:
ci,j=(-1)i+jαi,jDi,j
où Di,j est le déterminant du mineur de A d'ordre n-1 obtenu en supprimant la i-ième ligne et la j-ième colonne de A.
On a alors la propriété suivante:
L'inverse de A est égale à: Det(A)-1C où C est la transposée de la matrice des cofacteurs de A

Il suffit de montrer que AC=Det(A)In où In est la matrice unité d'ordre n. Cela résulte du fait que le déterminant est alterné et du théorème du développement du déterminant suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne.

Exemple

Si A est la matrice:
3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3
La matrice des cofacteurs est:
20 4 4 4 4 20 4 4 4 4 20 4 4 4 4 20
Le déterminant est 48.
La matrice inverse de A est donc:
5 / 12 1 / 12 1 / 12 1 / 12 1 / 12 5 / 12 1 / 12 1 / 12 1 / 12 1 / 12 5 / 12 1 / 12 1 / 12 1 / 12 1 / 12 5 / 12

Café Python

Voici un programme qui calcule l'inverse d'une matrice en utilisant les cofacteurs.

Voici un programme qui utilise une librairie pour calculer une matrice inverse:

On remarquera encore une fois les inévitables erreurs d'arrondi commis par la fonction de la bibliothèque.