Résultats généraux

Nous avons déjà vu une première caractérisation des applications linéaires injectives, à savoir:
f injective ⇔ Ker(f) = {0}
En voici maintenant une autre:
On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie et B=(u1,...,un) une base de E, dans ces conditions:
f injective ⇔ le système (f(u1),....,f(un)) est libre

Supposons en effet f(u)=0 avec u= λ1u1+...+ λnun
On a donc alors λ1f(u1)+...+λnf(u
n) = 0. Si f(u1),....,f(un)) est libre on a nécessairement λ1= ... =λn=0 donc u = 0 et Ker(f)={0} donc f est injective. Inversement supposons f injective et supposons qu'on ait λ1f(u1)+...+λnf(un)=0, alors on aura: f(λ1u1+...+λnun)=0 donc λ1u1+...+λnun=0 donc λ1=...=λn=0 puisque B=(u1,...,un) est une base de E.
Nous avons également une autre caractérisation des applications linéaires surjectives, à savoir:
f surjective ⇔ Im(f)=F
En voici une autre:
On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie et B=(u1,...,un) une base de E, dans ces conditions:
f surjective ⇔ le système (f(u1),....,f(un)) est générateur

Supposons f surjective et soit v un vecteur quelconque de l'espace but F. Si (f(u1),....,f(un)) est générateur alors v peut s'écrire comme combinaison linéaire des f(ui) :
v= λ1f(u1)+...+λnf(un)
Donc par linéarité:
v= f(λ1u1+...+λnun). c'est aussi simple pour la réciproque
En rassemblant les deux résultats précédents on a:
Si f: E → F est une application linéaire. Il y a équivalence entre:
Et on a également:
Si f est une application linéaire d'un espace de dimension finie E dans un espace de dimension finie F avec dim(E)=dim(F) pour que f soit un isomorphisme, il suffit que f soit injective OU que f soit surjective.

Cela résulte du fait que dans un espace de dimension n pour que n vecteurs forment une base il suffit qu'ils forment un système libre ou qu'ils forment un système générateur.
Le résultat précédent s'applique donc aux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie, et nous donne:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f: E → E un endomorphisme de E (application linéaire de E dans E) alors il y a équivalence entre:
Cela nous fournit donc autant de caractérisations des endomorphismes bijectifs (automorphismes)d'un espace vectoriel de dimension finie.

Groupes linéaires

Commençons par une définition:
Les isomorphismes de l'espace vectoriel E sur lui-même, encore appelés endomorphismes bijectifs ou automorphismes (voir cours bases des mathématiques), forment un groupe pour la composition. Ce groupe n'est pas abélien on l'appelle le 'groupe linéaire de E' et il est noté GL(E). C'est donc un sous-groupe du groupe de toutes les permutations de E.
Tout cela résulte simplement du fait que: On voit tout de suite également que:
Si E et F sont isomorphes en tant qu'espaces vectoriels, GL(E) et GL(F) le sont en tant que groupes.
Cela se vérifie ainsi si φ: E → F est un isomorphisme. L'application f → φofoφ-1 est un isomorphisme de groupes de GL(E) sur GL(F). Un espace vectoriel de dimension n étant toujours isomorphe à Kn, dans le cas de la dimension finie le seul groupe linéaire qui importe est donc GL(Kn) que l'on note encore GL(n,K). Nous représenterons ce groupe dans le prochain chapitre.