La méthode de Jacobi


Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851)Image:http://en.wikipedia.org/wiki/File:Carl_Jacobi.jpg
L'idée est d'utiliser la remarque donnée dans le paragraphe précédent consacré aux itérations successives, en posant:
M=E+F avec: D étant la diagonale de A. Nous allons maintenant donner des conditions suffisantes pour que le théorème de Picard Banach s'applique. Il faut donc s'assurer que ||D-1M|| < 1

Matrices à diagonale dominante

Une matrice A = (ai,j)1≤i,j≤n est dite à 'diagonale dominante' si elle vérifie :
i,i| > Σ i,j| ∀ i 1≤i≤n
j≠i
Cette condition peut sembler très forte, mais en fait dans les gros systèmes, les matrices sont souvent des matrices bandes. Lorsque ces matrices sont issues d'équations aux dérivées partielles le coefficient diagonal est souvent dominant.
Nous allons maintenant supposer que A est à diagonale dominante, et chercher la forme de D-1M. Remarquons tout de suite que dans notre cas (système de Cramer) il est impossible qu'un seul élément diagonal soit nul sinon nous aurions une ligne et une colonne nulle contrairement à l'hypothèse qu'on a affaire à un système de Cramer.
La matrice D est donc diagonale sans aucun 0. Son inverse est donc la matrice diagonale dont les éléments sont les inverses des élements de D. Calculons maintenant les coefficients de D-1M soient les ci,j on a :
ci,i=0 ∀ i 1≤i≤n
ci,j= ai,j/ai,i i ≠ j
d'où |ci,j|<1 ∀(i,j) 1≤i,j≤n i ≠ j
Prenons maintenant sur Kn la norme L et sur M(n,K) la norme matricielle associée.
On a évidemment ||D-1M|| < 1
Voici maintenant une appliquette qui vous permettra de visualiser la méthode de Jacobi pour pour des matrices d'ordre 4 à diagonale dominante à coefficients réels.
Matrice A Second membre B
Matrice D Solution 'exacte'
Matrice M Xn
Matrice D-1 Xn+1

Café Python

Voici une implémentation de la méthode des itérations successives de Jacobi.