Soit S=(u1,u2,....,un) un système de vecteurs de E,
espace vectoriel
sur K. On appelle
'relation linéaire'
entre les vecteurs ui
un système de scalaires (λ1,λ2,...,λn)
non tous nuls
vérifiant:
λ1u1+λ2u2+...+λnun=0
On vérifie imméditemment le résultat suivant:
Il existe une relation linéaire pour le système S=(u1,u2,....,un) équivaut à:
Un au moins
des vecteurs ui
est combinaison linéaire des
autres
vecteurs du système.
Ainsi (-1,-2,-1,1) est une relation linéaire pour le système de polynômes (1,x,x2,(1+x)2)
Systèmes liés
On dit qu'un système S=(u1,u2,....,un) de vecteurs de E est
'lié'
s'il existe une relation linéaire pour ce système.
Voici des exemples de systèmes liés:
(u,2u)
(u,v,u+v)
(u,v,w,w-2u+v)
Tout système comportant le vecteur nul
Systèmes libres
On dit qu'un système S=(u1,u2,....,un) de vecteurs de E est
'libre'
s'il n'est pas lié, c'est à dire s'il n'existe aucune relation linéaire
pour ce système, soit encore si aucun des vecteurs du système n'est
combinaison linéaire d'autres vecteurs du système. On dit encore que
les vecteurs ui
sont
'linéairement indépendants'
Exemples
Un système constitué d'un unique vecteur non nul est un système libre.
Un système constitué d'un vecteur non nul et d'un second vecteur non multiple du premier est libre.
Les trois vecteurs (1,0,0,0) (1,1,0,0) (1,1,1,0) forment un système libre dans l'espace ℝ4.
Pour toute valeur de n le système de n+1 vecteurs (1,x,x2,....,xn) est libre dans l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
Remarque
Tout système extrait d'un système libre est lui-même libre.
Voici une applet qui vous montrera quelques exemples de systèmes libres et liés dans ℝ3.
Cliquez sur la zone graphique pour arrêter et reprendre l'animation.
Café Python
Voici un programme qui teste les systèmes de vecteurs à coordonnées rationnelles pour voir s'ils sont libres.