Relations linéaires

Soit S=(u1,u2,....,un) un système de vecteurs de E, espace vectoriel sur K. On appelle 'relation linéaire' entre les vecteurs ui un système de scalaires (λ12,...,λn) non tous nuls vérifiant:
λ1u12u2+...+λnun=0
On vérifie imméditemment le résultat suivant:
Il existe une relation linéaire pour le système S=(u1,u2,....,un) équivaut à:
Un au moins des vecteurs ui est combinaison linéaire des autres vecteurs du système.
Ainsi (-1,-2,-1,1) est une relation linéaire pour le système de polynômes (1,x,x2,(1+x)2)

Systèmes liés

On dit qu'un système S=(u1,u2,....,un) de vecteurs de E est 'lié' s'il existe une relation linéaire pour ce système.
Voici des exemples de systèmes liés:
  1. (u,2u)
  2. (u,v,u+v)
  3. (u,v,w,w-2u+v)
  4. Tout système comportant le vecteur nul

Systèmes libres

On dit qu'un système S=(u1,u2,....,un) de vecteurs de E est 'libre' s'il n'est pas lié, c'est à dire s'il n'existe aucune relation linéaire pour ce système, soit encore si aucun des vecteurs du système n'est combinaison linéaire d'autres vecteurs du système. On dit encore que les vecteurs ui sont 'linéairement indépendants'

Exemples

  1. Un système constitué d'un unique vecteur non nul est un système libre.
  2. Un système constitué d'un vecteur non nul et d'un second vecteur non multiple du premier est libre.
  3. Les trois vecteurs (1,0,0,0) (1,1,0,0) (1,1,1,0) forment un système libre dans l'espace ℝ4.
  4. Pour toute valeur de n le système de n+1 vecteurs (1,x,x2,....,xn) est libre dans l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

Remarque

Tout système extrait d'un système libre est lui-même libre.
Voici une applet qui vous montrera quelques exemples de systèmes libres et liés dans ℝ3.
Cliquez sur la zone graphique pour arrêter et reprendre l'animation.



Café Python

Voici un programme qui teste les systèmes de vecteurs à coordonnées rationnelles pour voir s'ils sont libres.