Une 'matrice colonne' est une matrice ne comportant qu'une seule colonne. elle représente donc une application linéaire d'un espace de dimension 1 dans un espace de dimension m, m étant le nombre de lignes de la matrice.
Or une application f de K dans F s'identifie à un vecteur de F, plus précisément au vecteur f(1).
L'application se confondant alors avec λ → λf(1).
L'identification est courante. Donc, une base étant fixée dans F le vecteur x de coordonnées (x1,...,xm) de F s'identifie avec la matrice colonne X:
x1
x2
.
.
xm
Avec ces notations:
Si f est une application linéaire de E dans F, si B est une base de E et B' une base de F, x un vecteur de E identifié à une matrice colonne X. Si A=M(f,B,B') alors le vecteur y = f(x) s'identifie à un vecteur colonne Y.
La relation entre X et Y est la suivante: Y=AX, formule permettant le calcul de l'image de x en utilisant uniquement les opérations matricielles.
La vérification de cette affirmation est immédiate.