Remarquons d'abord que la donnée d'une matrice A de type (m,n) définit de manière tout à fait naturelle une application linéaire de Kn dans Km .
En effet soit un vecteur V de Kn que nous identifions à une matrice (n,1).
Au vecteur V nous associons le produit AV qui est de type (m,1) donc que nous pouvons à nouveau identifier à un vecteur de Km .
L'application V → AV est linéaire de façon évidente à cause des propriétés du produit.
Inversement, soient E et F deux espaces de dimensions finies n et m. Soit B=(u1,...,un) une base de E, et f une application linéaire de E dans F.
On sait que f est entièrement déterminée par les images des n vecteurs f(u1), ..., f(un).
Soit donc B'=(v1,...,vm) une base de F.
Chaque vecteur f(uj) se décompose suivant la base B'.
Désignons par αi,j la coordonnée suivant vi du vecteur f(uj).
On obtient ainsi une matrice de type (m,n) qui caractérise entièrement l'application linéaire f.