Définition

La 'transposée' d'une matrice est la matrice obtenue en échangeant le rôle des lignes et des colonnes. Plus précisémment si A = (αi,j) est une matrice de type (m,n), la transposée de A, notée tA est la matrice de type (n,m) définie par tA=(βi,j) où :
βi,jj,i ∀ (i,j) ∈ {1,...,n}×{1,...,m}.

Propriétés.

Les propriétés suivantes se vérifient immédiatement:
L'application: A →t A est linéaire.
C'est à dire qu'on a t(A+B) = tA+tB et t(λA)= λtA.
L'application: A → tA est contravariante vis à vis du produit.
C'est à dire t(AB)=tBtA.
Voici une appliquette qui donne des exemples de transposées de matrices.
Vous pouvez choisir un corps parmi 4 options.
Un exemple aléatoire est généré.
Matrice A Matricet A
ℤ/5ℤ

Café Python

Nous allons maintenant écrire un programme de génération de matrices aléatoires qui calculera en outre la transposée d'une matrice.

Voici  le résultat d'une exécution.
A= [[ 7  7 -3  3 -6]
 [ 0 -6 -8 -2 -1]
 [ 6 -2  3 -2  8]
 [-3 -6  0  9 -5]]
t(A)= [[ 7  0  6 -3]
 [ 7 -6 -2 -6]
 [-3 -8  3  0]
 [ 3 -2 -2  9]
 [-6 -1  8 -5]]