Applications bilinéaires

Tous les espaces vectoriels sont supposés sur le même corps commutatif de base K. Nous supposons en outre que ce corps n'est pas de caractéristique 2, c'est à dire que 1+1 ≠ 0 (comme dans le cas du corps ℤ/2ℤ Soit f une application défine sur un produit d'espaces vectoriels E1×E2 et à valeur dans un espace vectoriel F.
On dit que f est 'bilinéaire' si:
Il résulte immédiatement de la définition que:

Exemples d'applications bilinéaires

  1. Chacune des n2 applications de Kn×Kn → K ((x1,...,xn),(y1,...,yn)) → xkyh est bilinéaire.
  2. Toute combinaison linéaire des précédentes est bilinéaire, en particulier ((x1,...,xn),(y1,...,yn)) → x1y1+...+xnyn, le produit scalaire usuel dans le cas de ℝn
  3. Si E est l'espace de toutes les suites de nombres réels. L'application ((xn)n∈ℕ,(yn)n∈ℕ) → (xnyn)n∈ℕ est bilinéaire.
  4. Si f et g désigne des applications indéfiniment dérivables d'un intervalle I ⊆ ℝ, l'application (f,g) → (fg)' est bilinéaire.

Applications multilinéaires

Soient des espaces vectoriels E1, E2,..., En et F.
On dit qu'une application f: E1×E2×En → F est 'multilinéaire' ssi:
Quand on fixe n'importe lesquelles des n-1 variables (u1,...,ui-1,ui+1,...,un)
L'application fi : ui → f(u1,...,un) est linéaire.
Comme précédemment:
Les applications multilinéaires de E1×...× En → F ont une structure de K-espace vectoriel.

Exemples:

Tous les exemples ci-dessus illustrant la bilinéarité sont généralisables au cas de 3 espaces (applications trilinéaires) ou de n espaces.

Formes multilinéaires

Tout comme dans le cas des applications linéaires, si le but est le corps K lui-même on dit 'formes multilinéaires' au lieu 'd'applications multilinéaires'. Il s'agit donc d'une précision supplémentaire.

Exemples

  1. Les exemples 1 et 2 donnés précédemment correspondent à des formes multilinéaires.
  2. Si E est l'espace des applications d'un intervalle I dans ℝ et si t est un point de I l'application (f,g) → f(t)g(t) est une forme bilinéaire sur E.
  3. Le produit de deux formes linéaires est une forme bilinéaire. Plus généralement, le produit de p formes linéaires est une forme p-linéaire. Cet exemple est important.

Applications alternées

Soient E1,...,En n ensembles quelconques (pas forcément des espaces vectoriels) et F un groupe additif.
Une application f: E1×...×En → F est dite 'alternée' ssi:
f(x1,...,xn) = 0 chaque fois que deux au moins des xi sont égaux.
Cela s'applique naturellement aux applications multilinéaires. On définit donc tout naturellement les 'applications multilinéaires alternées' et les 'formes multilinéaires alternées'.

Exemples:

  1. Le produit vectoriel classique de l'espace des vecteurs libres de ℝ3 est bilinéaire alterné.
  2. L'application de ℝ2×ℝ2 dans ℝ donnée par:
    ((a,b),(c,d)) → ad-bc est une forme bilinéaire alternée.
  3. L'application (u,v,w) → (u|v|w) (produit mixte= u.(v ∧ w)) est une forme trilinéaire alternée sur ℝ3