Soit E un K-espace vectoriel et f une forme sesquilinéaire sur E. La propriété suivante se vérifie instantanément.
Pour tout y de E la fonction fy :x → f(x,y) est une forme linéaire sur E donc un élément du dual E* . L'application f^ : y → fy est donc une application de E dans E* possédant les propriétés suivantes:
une telle application est dite 'semi-linéaire' relativement à l'involution choisie.
Cette application est même d'ailleurs linéaire dans le cas orthogonal réel ou complexe. Les applications semi-linéaires ont sensiblement les mêmes propriétés que les applications linéaires particulièrement pour ce qui concerne l'image et le noyau.
Le noyau de f^ est donc ainsi défini:
Ker(f^)= {y ∈ E | f(x,y)=0 ∀ x ∈ E}
On dit que la forme sesquilinéaire f est 'non-dégénérée' si l'application f → f^ de E dans son dual est injective, c'est à dire si le seul vecteur y tel que f(x,y)=0 pour tout x de E est le vecteur nul.
On suppose maintenant E de dimension finie et soit A=(αi,j) 1≤i,j≤n la matrice de f par rapport à une base B quelconque. Dans ces conditions on a le théorème suivant qui nous permet de caractériser les formes non-dégénérées:
Les propriétés suivantes sont équivalentes:
  1. f(x,y)=0 ∀ x ∈ E ⇒ y=0
  2. f(x,y)=0 ∀ y ∈ E ⇒ x=0
  3. La matrice A est inversible.
  4. L'application f → f^ de E dans E* est bijective.

f(x,y)=0 ∀ x ∈ E ⇔ f(ui,y)=0 pour tous les vecteurs ui de la base B. Donc le vecteur colonne Y des coordonnées de y soient y1, y2, ... ,yn doivent être solution du système: A(Y*)=0.
f(x,y)=0 ∀ y ∈ E ⇔ f(x,ui)=0 pour tous les vecteurs ui de la base B. Donc le vecteur colonne X des coordonnées de x soient x1, x2, ... xn doivent être solution du système: AX=0.
On voit donc que 1 et 2 sont équivalents à 3.
1 est équivalent à 4 par définition même d'une forme non-dégénérée.

Exemple

La forme de Lorentz est non-dégénérée car sa matrice est:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 -c
Son déterminant vaut -c, elle est donc inversible.