Définition

Nous avons vu que l'image réciproque d'un sous-espace du but, est un sous-espace de la source. Nous pouvons donc appliquer cela au sous-espace nul {0}.
On appelle 'noyau' de l'application linéaire f: E → F le sous-espace de E défini par f-1 ({0})= {u ∈ E | f(u)=0}.
Le noyau de f se note traditionnellement 'Ker(f)' de l'anglais 'Kernel'(=noyau).

Propriétés

Les propriétés suivantes sont presque toutes évidentes:
f(u)=f(v) ⇔ u-v ∈ Ker(f).
f injective ⇔ Ker(f)={0}

Exemples

  1. Si nous prenons pour espace les applications continues et dérivables sur un intervalle I et pour D: f → f'. Ker(D) est l'ensemble des applications constantes sur I.
  2. Si E= Kn F=K et p la première projection p(x1,...,xn) Ker(p) est l'hyperplan x1=0.
  3. Le noyau de "l'homothétie" u → λu est soit E si λ=0 soit {0} si λ≠0.