Intersection

Résultat très important:
L'intersection de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel est encore un sous-espace vectoriel de cet espace. Il en va de même pour toutes les familles finies et infinies de sous-espaces.
La preuve consiste en une simple vérification des axiomes des sous-espaces en appliquant la définition de l'intersection ensembliste.

Somme

Soit E un espace vectoriel sur K, F et G deux sous espaces de E. On appelle 'somme' de F et G et on note F+G l'ensemble ainsi défini:
F+G= { u+v | u∈F ∧ v∈G }
L'addition des sous-espaces possède quelques propriétés remarquables:

Somme directe

Deux sous-espaces F et G sont dits en 'somme directe' si leur intersection se réduit à {0}. Dans ce cas leur somme se note F⊕G.
(H=F⊕G) ⇔ (H=F+G ∧ F∩G={0})
La propriété suivante se démontre très facilement:
H=F⊕G ⇔ ∀ w ∈ H, u peut s'écrire de manière unique sous la forme u+v avec u ∈ F et v ∈ G

Sous-espaces supplémentaires

Deux sous-espaces F et G de l'espace E sont dits 'supplémentaires' s'ils vérifient les propriétés suivantes:
  1. F et G sont en somme directe.
  2. L'espace E tout entier est somme de F et G, c'est à dire E=F⊕G.
Voici un exemple simple: Dans l'espace E= ℝ2 Soit F = {(x,y) | x=0} et G = {(x,y)|y=0}, alors E=F⊕G.