On suppose donné un produit scalaire sur un espace vectoriel réel.

Propriété

Un automorphisme orthogonal u a un déterminant égal à +1 ou égal à -1.

En effet, soit A sa matrice par rapport à une base orthonormale.
Alors A-1=A*, donc :
dét(A*)=dét(A-1)=1/dét(A).
Mais A = A ¯ t , d'où:
dét A = dét A t ¯ = dét A ¯ d'où:
1 dét A = dét A ¯ et finalement:
dét(A)dét(A)=1, soit:
|dét(A)|2=1

Définition

On dit qu'un automorphisme orthogonal est 'direct' si son déterminant est égal à +1, 'indirect' dans le cas contraire.
Considérons le sous-ensemble X de En formé de toutes les bases orthonormales de E. Elles se correspondent deux à deux par des automorphismes orthogonaux. Considérons sur X la relation binaire:
B est reliée à B' si elles s'échangent par un automorphisme direct.
C'est évidemment une relation d'équivalence pour lesquelles il n'existe que deux classes.
Le choix (arbitraire) d'une base orthonormale particulière définit une 'orientation'. Toutes les bases correspondant à cette base par un automorphisme positif sont dites 'directes' les autres étant qualifiées de 'rétrogrades'.
On a alors le résultat évident suivant:
Soit B=(u1,...,un) une base orthonormale qualifiée de 'directe'. Soit σ une permutation de {1,....,n} et sgn(σ) sa signature. Alors la base B'=(uσ(1),...,uσ(n)) est directe si σ est paire (sgn(σ)=1), indirecte dans le cas contraire.

Exemples

  1. La symétrie centrale est positive si et seulement si la dimension de l'espace est paire.
  2. Une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan est toujours négative.