Voici le temps venu d'expliquer le sens du produit des matrices.

Résultat fondamental

Soient E,F,G trois espaces vectoriels de dimensions n, m, p respectivement.
Soient B,B' et B" des bases de E,F et G respectivement.
Soient f: E → F et g: F → G deux applications linéaires.
Dans ces conditions:
La matrice de gof relativement à B et B" est le produit de la matrice de g relativement à B' et B" par la matrice de f relativement à B et B'.
M(gof ,B,B")=M(g,B',B")×M(f,B,B').
Remarquons tout de suite que le produit a bien un sens:
M(f,B,B') est une matrice de type (m,n).
M(g,B',B") est une matrice de type (p,m).
M(gof ,B,B") est une matrice de type (p,n).
Le produit est donc bien défini et les matrices que nous comparons sont du même type.
La preuve est simple; ce n'est qu'une suite d'applications de la linéarité et de la définition de la matrice d'une application linéaire.