Définition

Ce paragraphe est spécifique à l'espace ℝ3 avec le produit scalaire usuel.
Soit u et v deux vecteurs quelconques. On peut donner un sens à "l'aire algébrique du parallélogramme construit sur u et v". Si u est représenté par le bipoint (O,A) et v par le bipoint (O,B).
Cette aire est en valeur absolue le double de celle du triangle OAB. Notons la S(u,v).
Cette aire est une forme bilinéaire alternée puisque elle est égale au déterminant des deux vecteurs dans leur plan.
Le 'produit vectoriel' de u et v, noté u ∧ v, est le vecteur w ainsi défini:
Si u et v sont colinéaires alors w =0.
Dans le cas contraire w est le vecteur orthogonal au plan engendré par u et v, de module S(u,v), et dont le sens est tel que (u,v,w) soit une base directe.

Image: http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel
L'appliquette qui suit vous permet de voir un produit vectoriel.
Coefficient λ de v :
Angle de v autour de Oz en degrés :
Cette appliquette montre le produit vectoriel de deux vecteurs aléatoires.

Propriétés

Le module de w est donc |sin(α)|×||u||||v|| où α est l'angle (non orienté) des deux vecteurs u et v.
On voit que:
le produit vectoriel est une application bilinéaire alternée de ℝ3×ℝ3 dans ℝ3.
On a de plus si (i,j,k) est une base orthonormale quelconque:
Donc, il résulte des égalités ci-dessus et du fait que le produit vectoriel est bilinéaire alterné que:
Si u=u1i+u2j+u3k
et
v = v1i+v2j+v3k
alors
u∧v=(u2v3-u3v2)i+(v1u3-u3 v1)j+(u1v2-u2v1)k

Produit mixte

Formellement le 'produit mixte' des 3 vecteurs u,v, w est défini par:
(u|v|w)=u.(v ∧ w)
On voit tout de suite que cette opération est trilinéaire alternée, et que si (i,j,k) est une base orthonormale:
(i|j|k)=1.
Nous en concluons donc que c'est une autre expression du déterminant:
(u|v|w)=dét(u,v,w)
Cela se voit d'ailleurs en utilisant les formes de calcul du produit scalaire et du produit vectoriel. On retrouve le développement classique d'un déterminant suivant les éléments d'une colonne.
L'appliquette ci-dessous présente un vecteur u (bleu), un vecteur v jaune et un vecteur w rose.