Définition

Le produit des matrices peut paraître, au premier abord, bizarre et artificiel. Particulièrement dans le cas où, comme ici, les matrices sont introduites indépendamment des applications linéaires. Cette opération apparaitra tout à fait naturelle, dans le sujet suivant intitulé "Matrices et applications linéaires".
Pour le moment nous allons définir formellement ce produit sans chercher à l'interpréter (lui donner une signification).
Tout d'abord le produit d'une matrice A par une matrice B, n'est défini que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde.
Soit A=(αi,j) une matrice de type (m,n) et B=(βi,j) une matrice de type (n,p).
Le 'produit' de A et B noté A × B ou simplement AB est la matrice C ainsi définie:
C est de type (m,p)
C = (γi,j) où pour tout (i,j) ∈ {1,..,m}×{1,...,p}
γi,ji,1β1,ji,2β2,j+... +αi,nβn,j
Ainsi γi,j est formé à partir de la i-ième ligne de a et de la j-ième colonne de B.

Image http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Matrix_multiplication_diagram.svg
Et voici maintenant une apppliquette javascript montrant en détail le calcul d'un produit de matrices à coefficients rationnels.
Cliquez sur le bouton 'nouvel exemple', les tables A et B seront remplies avec des matrices aléatoires.
Cliquez ensuite, tour à tour sur chacune des cases de la matrice calculée A×B, vous verrez apparaître en jaune les coefficients intervenant dans le calcul ainsi que la ligne des calculs détaillés, dans la zone de texte.
Matrice B
Matrice A Matrice A×B
Voici quelques propriétés que nous énonçons sans démonstrations:
Le produit des matrices est associatif :
(AB)C=A(BC) chaque fois que les types des 3 matrices sont telles que toutes les opérations aient un sens.
Le produit des matrices est distributif par rapport à la somme:
A(B+C)=AB+AC chaque fois que les types des 3 matrices sont telles que toutes les opérations aient un sens.
Cette distributivité est également valable à droite, c'est à dire:
(A+B)C=AC+BC
Les preuves sont purement calculatoires et sont de simples vérifications utilisant en tout et pour tout la définition du produit.
La question de la commutativité ne se pose même pas dans la mesure où l'existence du produit AB n'implique nullement l'existence du produit BA. Elle pourrait se poser dans le cas des matrices carrées de même ordre.
Nous verrons sur des exemples que, même dans ce cas, elle est fausse en général (bien qu'il soit possible de trouver des matrices qui 'commutent').
Les 'puissances' d'une matrice sont les produits de cette matrice par elle-même, comme pour les nombres:
A0=I (matrice identité)
A1=A
An+1=AnA

Café Python

Nous allons maintenant bâtir un programme de génération de matrices aléatoires. Le programme calculera également le produit et affichera les résultats.



A=
[[ 0  7 -2 -7]
[-7 -6  9  3]]
B=
[[-4 -2]
[ 9  7]
[-6 -8]
[-9 -3]]
AxB=
[[ 138   86]
[-107 -109]]

A=
[[-1  9 -5]
[ 9  7 -7]
[ 9  6 -2]]
B=
[[-1 -9  7]
[-2  8  3]
[-4 -6 -2]]
AxB=
[[  3 111  30]
[  5  17  98]
[-13 -21  85]]

A=
[[-4  8  0  3 -7]
[ 2  6 -6  9 -7]
[ 7 -2  7 -4 -6]]
B=
[[ 9  5  5  9 -7]
[-3  9  8 -6  0]
[ 4  3 -4  6  5]
[-6  4  4 -3 -3]
[-7  2 -5 -4  1]]
AxB=
[[-29  50  91 -65  12]
[-29  68 153 -53 -78]
[163  10   5 153  -8]]