Propriétés élémentaires

Toutes les propriétés suivantes se vérifient instantanément.
La première est sans doute que f conserve les combinaisons linéaires:
f: E → F linéaire ⇔ ∀ S=(u1,u2,....,un) ∧ ∀ (λ12,..., λn) ∈ Kn on a:
f(λ1u12u2+... +λnun) = λ1f(u1)+λ2f(u2)+... +λnf(un)
La seconde est que les images directes des sous-espaces vectoriels sont des sous-espaces vectoriels.
Si f: E → F est linéaire, alors si E1 est un sous-espace de E alors f(E1) est un sous-espace de F.
La troisième est que les images réciproques des sous-espaces du but sont des sous-espaces de la source:
Si f: E → F est linéaire, alors si F1 est un sous-espace de F alors f-1(F1) est un sous-espace de E.
La propriété qui suit est fondamentale:
Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base. Plus précisément:
Si B=(u1,u2,....,un) est une base de E, et si S=(v1,v2,....,vn) est un système quelconque d'éléments de F, alors il existe une et une seule application linéaire f: E → F telle que f(ai)=bi ∀ i ∈ E.

Soit u un vecteur de E. u s'écrit de manière unique: u=λ1u12u2+...+λnun
Si f est linéaire on a forcément: f(u)=λ1v12v2+...+λnvn. Ce qui prouve qu'il y a au plus une application linéaire vérifiant notre condition.
Considérons maintenant l'application : u → λ1v12v2+...+λnvn. Il est immédiat de vérifier que cette application est linéaire. D'où notre affirmation.

Espaces L(E,F)

La somme de deux applications linéaires ayant même source et même but, ainsi que le produit par un scalaire sont définis de manière évidente:
On vérifie immédiatement que:
L'ensemble L(E,F) de toutes les applications linéaires de E dans F , muni des deux lois ci-dessus, est lui-même un espace vectoriel.
La composée de deux applications linéaires est encore une application linéaire. Plus précisément:
Si f: E → F et g : F → G sont deux applications linéaires. L'application gof: E → G est encore une application linéaire.
Concernant les dimensions, nous avons:
si E et F sont de dimensions finies L(E,F) est de dimension finie et
dim(L(E,F))=dim(E)×dim(F).

Soit B=(u1,...,un) une base de E et B'=(v1,...,vm) une base de F. Soit fi,j l'application linéaire définie par fi,j(uk)=0 si k ≠ i et fi,j(ui)=vj. On vérifie que les m×n applications linéaires fi,j forment une base de L(E,F).