Terminologie

Nous vous invitons maintenant à revoir la terminologie concernant les matrices triangulaires. Nous vous invitons également à revoir les endomorphismes orthogonaux et les matrices associées.
On dit qu'une matrice A carrée est décomposée (factorisée) sous la forme QR, s'il existe une matrice Q orthogonale et une matrice R triangulaire supérieure telle que A=QR

Intérêt pour la résolution de systèmes

Soit à résoudre un système linéaire:
AX=B Supposons que nous disposions d'une factorisation de A de type QR.
Le système s'écrit:
QRX=B
Posant Y=RX, la résolution se fera en deux étapes:
Résolution de QY=B
Résolution de RX=Y
Le second système est triangulaire, donc sa résolution est immédiate.
Pour le premier système la solution est Y=Q-1B. Mais Q étant orthogonale le calcul de Q-1 est tout fait Q-1=tQ Il existe trois méthodes 'classiques' de factorisation QR:
Chacune a ses mérites et ses inconvénients. Nous allons les examiner tour à tour dans les pages suivantes.
Voici maintenant une appliquette qui vous permettra de visualiser des factorisations QR pour des matrices d'ordre 4 à coefficients réels.
Appuyer seulement sur le bouton "Nouvel exemple".
Matrice A
Matrice Q
Matrice R

Café Python

Voici un exemple de réduction QR au moyen de la librairie scipy