On suppose dans tout ce paragraphe qu'on a affaire à des espaces vectoriels de dimension finie.
Le 'rang' d'une application linéaire est, par définition la dimension de Im(f). Ce rang se notera 'rg(f)'
Il en résulte immédiatement que si f:E → F est linéaire on a l'inégalité:
rg(f) ≤ dim(F).
Mais on a aussi un résultat plus important, connu sous le nom de 'théorème du rang' : On a toujours l'égalité rg(f)=dim(E)-dim(Ker(f)).

La preuve est simple. Soit B1 =(u1,...,up) une base de Ker(f). Nous compléterons cette base par une base B2=up+1,...,un d'un supplémentaire H de Ker(f), de sorte que B=(u1,...,un) soit une base de E. Soit G=Ker(f) et H le sous-espace engendré par B2. G et H sont en somme directe E=G⊕H et n=dim(K)=dim(G)+dim(H). Il suffit donc de montrer que dim(H)=dim(Im(f)). Cela va résulter du fait que l'image de H par f est égale à Im(f) et que la restriction de f à G est injective. La restriction de F à H définit donc un isomorphisme linéaire de H sur Im(f), d'où l'égalité des dimensions.
Il résulte du théorème du rang qu'on a les propriétés suivantes: Le calcul du rang d'une application linéaire revient donc au calcul du rang d'un système de vecteurs.

Exemples

  1. Si D est l'opérateur de dérivation des polynômes de degré 2 dans les polynômes de degré 1, le rang de D est 2.
  2. Si B=(u1,...,un) est une base de E, l'application:
    x= λ1u1+...+ λnun → λ1 a pour rang 1.