Le 'rang' d'une matrice est par définition le rang, dans Km du système formé par ses n colonnes.
Il résulte de la définition que le rang d'une matrice de type (m,n) est inférieur ou égal à m et à n.
Le rang d'une matrice ne change pas si on multiplie une colonne par un scalaire non nul.
Le rang d'une matrice ne change pas si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.
Les deux propriétés précédentes résultent immédiatement des propriétés du rang d'un système de vecteurs. Nous verrons un peu plus tard qu'elles s'appliquent également pour les lignes.

La méthode de calcul de Gauss

Cherchons dans la première colonne un coefficient non nul à partir du haut.
Si nous n'en trouvons aucun, nous pouvons purement et simplement éliminer cette colonne. Soit c'est le premier, soit c'est un autre.
Si ce n'est pas le premier (disons que c'est le troisième, par exemple). Nous échangeons les lignes 1 et 3, ce qui ne modifie pas le rang.
Par la suite nous retirons à chaque ligne autre que la première, un multiple de la première de façon à obtenir des zéros partout sur la première colonne à partir de la seconde ligne.
Nous obtenons donc une matrice dont la première colonne ne comporte que des zéros sauf en première position.
On voit alors que le rang de cette matrice est égal au rang du système obtenu en supprimant la première ligne et la première colonne augmenté d'une unité.
Il suffit donc d'appliquer l'algorithme récursivement.
Voici une appliquette qui montre comment fonctionne l'algorithme, étape par étape.
ℤ/5ℤ
Nombre de lignes     :
Nombre de colonnes :

Café Python

Voici un programme qui calcule le rang d'une matrice en utilisant le pivot de Gauss.