Dans tout ce paragraphe E désigne un espace vectoriel complexe (x,y) → x.y un produit scalaire sur E.
Nous nous proposons de montrer que tout endomorphisme orthogonal pour ce produit scalaire est diagonalisable.
Plus précisément:
Dans les conditions ci-dessus, si u est orthogonal, il existe une base orthonormale formée de vecteurs propres de u.
Nous aurons besoin de quelques résultats préliminaires:
Si u est orthogonal, toute valeur propre de u est de module 1.
En effet supposons u(x)=λx avec x ≠ 0.
Alors u(x).u(x)=x.x=(λx).(λx)=λλx.x
D'où nous tirons λλ=1 puisque x.x ≠ 0.
Si u est orthogonal et si λ est une valeur propre de u alors λ est valeur propre de u* et u(x)=λx ⇔ u*(x)=λx
En effet partons de u(x)=λx et appliquons u* aux deux membres
u*(u(x))=u*(λx)
Comme u* est linéaire et u*=u-1, il vient :
x= λu*(x)
Multiplions les deux membres par λ
λx=λλu*(x)
Et comme en vertu du lemme précédent λλ=1, il vient:
λx= u*(x)
Soient E1, E2, ...,Ep les sous-espaces propres associés aux valeurs propres λ1, ..., λp. Les sous-espaces Ei sont deux à deux orthogonaux.
Soient x ∈ Ei et y ∈ Ej
λix.y= u(x).y = x.u*(y)=x. λj y= λjx.y d'après le lemme précédent donc comme λi≠λjx.y=0.
Soit F une sous-espace de E stable par u et u*, alors F est également stable par u et u*.
En effet soit x ∈ F alors si y ∈ F
u(x).y=x.u(y)=0 puisque F est stable par u, donc u(x) ∈ F.
u*(x).y=x.u(y)=0 puisque F stable par u. Donc F est stable par u*.
On démontre de la même façon que F est stable par u*.

Nous pouvons maintenant passer à la démonstration du théorème:
Soit F=E1+...+Ep le sous-espace somme des sous-espaces propres attachés aux diverses valeurs propres de u. D'après le lemme précédent F est stable par u et u*, il en est donc de même de F. Si l'on avait F≠{0} u aurait au moins un vecteur propre dans F on aurait donc F∩F≠{0} donc f ne serait pas définie positive. Donc F={0} et F=E. Donc E est somme des sous-espaces Ei et même somme directe en vertu du fait que des vecteurs propres attachés à des valeurs propres distinctes sont nécessairement indépendants.
Cela dit, une base de E peut être obtenue en réunissant des bases des Ei. Comme chaque Ei est stable par u. Si ui désigne la restriction de u à Ei, la matrice de ui par rapport à toute base étant diagonale, il suffit de prendre dans chaque Ei une base orthonormale, et de réunir ces bases pour obtenir une base (orthonormale) de E relativement à laquelle u a une matrice diagonale.