Endomorphismes autoadjoints

Dans tout ce paragraphe E désigne un espace vectoriel complexe (x,y) → x.y un produit scalaire sur E.
Un endomorphisme est dit 'autoadjoint' s'il vérifie u*=u.
Relativement à une base orthonormale les endomorphismes autoadjoints sont ceux dont la matrice A vérifietA=A.
Nous nous proposons de montrer que tout endomorphisme autoadjoint pour ce produit scalaire est diagonalisable.
Plus précisément:
Dans les conditions ci-dessus, si u est autoadjoint, il existe une base orthonormale formée de vecteurs propres de u.
Nous suivrons le plan de la démonstration du paragraphe précédent (réduction des endomorphismes orthonormaux).
Si u est autoadjoint et si λ est une valeur propre de u alors λ est valeur propre de u* et u(x)= λx ⇔ u*(x)=λx
Cette fois ce lemme est totalement évident puisque u=u*.
Il admet la conséquence suivante:
Toutes les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint sont réelles.
Soient E1, E2, ...,Ep les sous-espaces propres associés aux valeurs propres λ1, ..., λp. Les sous-espaces Ei sont deux à deux orthogonaux.
Preuve: sans changement.
Soit F une sous-espace de E stable par u, alors F est également stable par u.
Preuve: sans changement
Finalement la preuve finale du théorème est calquée sur celle de la réduction des endomorphismes orthonormaux. Il n'y a rien à changer, le fait que les raisonnements soient identiques résulte du fait qu'ils sont en fait valables dans tous les cas où u commute avec son adjoint uu*=u*u (cas des endomorphismes dits 'normaux')

Matrices symétriques

Nous examinons maintenant le cas particulier où, relativement à la base canonique u est représenté, par rapport à la base canonique, par une matrice réelle A. Dire que u est autoadjoint signifie simplement que la matrice A est symétrique (égale à sa transposée). Dans ce cas les résultats ci-dessus s'appliquent, et en particulier toutes les valeurs propres de A sont réelles. Le théorème de réduction (diagonalisation) s'applique donc pleinement.

Un exemple traité

Cherchons à diagonaliser l'endomorphisme ayant, par rapport à la base canonique de ℝ4 la matrice symétrique:
0 1 -3 0
1 0 0 -3
-3 0 0 1
0 -3 1 0
Le polynôme caractéristique est X4-20X2+64 Toutes les valeurs propres sont simples, et les vecteurs propres sont:
(1,-1,-1,1) associé à la valeur propre 2
(-1,-1,-1,-1) associé à la valeur propre -2
(1,-1,1,-1) associé à la valeur propre -4
(-1,-1,1,1) associé à la valeur propre 4
Donc pour base orthonormale nous pouvons prendre:
((1/2,-1/2,-1/2,1/2),(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2), (1/2,-1/2,1/2,-1/2), (-1/2,-1/2,1/2,1/2))
Relativement à cette base la matrice de u sera:
2 0 0 0
0 -2 0 0
0 0 -4 0
0 0 0 4
Voici maintenant une appliquette qui vous permettra de visualiser une diagonalisation pour des matrices d'ordre 6 symétriques à coefficients réels.
Matrice A
Matrice U
Matrice V
Matrice D