E désigne un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire (espace 'euclidien').

Définition

On appelle 'rotation' tout automorphisme orthogonal positif.

Exemples simples

  1. L'identité est une rotation.
  2. Une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan n'est jamais une rotation.
  3. Une symétrie centrale est une rotation si la dimension de l'espace est paire.

Propriétés

La composée de deux rotations est une rotation. En particulier les rotations forment un sous-groupe du groupe orthogonal de E, noté généralement O+(E).
Pour la dimension 1 il est clair qu'il existe une seule rotation et que c'est l'application identique.
Nous allons maintenant caractériser les rotations dans le cas orthogonal réel (forme symétrique définie positive) pour les dimensions 2 et 3. Nous effectuerons notre classification en fonction de la dimension du sous-espace des invariants (vecteurs identiques à leur image).

Cas du plan

Si une rotation du plan possède un vecteur invariant alors c'est l'identité.

Soit u un vecteur invariant et soit D=ℝu la droite vectorielle (invariante) engendrée par u. Soit D son orthogonal qui est aussi une droite. Il est clair que l'image de tout vecteur v de D est encore un vecteur de D de même norme que v. Cette image est donc v ou -v, mais ce ne peut être -v car on aurait alors une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan. L'image de v est donc v. D est invariant et tout le plan est invariant.
Donc si une rotation plane n'est pas l'identité elle ne possède aucun vecteur invariant.
Soit B=(i,j) une base orthonormale du plan, et soit r une rotation plane. Le vecteur r(i) possède des coordonnées (a,b) vérifiant a2+b2=1.
Le vecteur r(j) est orthogonal à r(i) et également de norme 1. Il en résulte que les cooordonnées de r(j) sont (-b,a).
En outre les nombres a et b ne dépendent pas de la base orthonormée choisie.
En effet la matrice de r relativement à une autre base orthonormée B'=(i',j') est de la forme PAP-1 où P est la matrice de passage d'une base orthonormale à une autre, donc une matrice orthogonale et où A est
( a -b )
b a
Les hypothèses faites sur P donnent immédiatement PAP-1=A.
On vérifie immédiatement, comme conséquence, que le groupe des rotations vectorielles du plan est commutatif.
Comme a2+b2=1, il existe un réel x défini à 2kπ près tel que: La matrice de r par rapport à (i,j) est donc:
( cos(x) -sin(x) )
sin(x) cos(x)
Et il n'existe aucune autre possibilité.
Le nombre x s'appelle "l'angle" de la rotation
On peut également définir l'angle de deux vecteurs non nuls dans le plan:
Si ces deux vecteurs u et v sont unitaires, on définit leur 'angle' comme étant l'angle de l'unique rotation amenant u sur v.
S'ils ne sont pas unitaires, on définit leur angle comme l'angle de u/||u|| avec v/||v||.
Voici une appliquette vous permettant de visualiser dans le plan une rotation d'angle quelconque.
Vous pouvez fixer l'angle au moyen du curseur.
Déplacez le point M avec la souris, l'application tracera le point M' image de M par la rotation d'angle α..
Voici une autre appliquette.
Vous pouvez maintenant observer l'effet d'une rotation sur une figure (un pentagone).
Cette fois encore, vous pouvez fixer l'angle de la rotation et déformer le pentagone (rouge) en bougeant ses sommets.

Cas de l'espace à 3 dimensions

Il est également facile de caractériser les rotations de l'espace au moyen de leur invariant. Tout d'abord il est impossible que la dimension de l'invariant soit égale à 2. Faute de quoi l'automorphisme serait une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan et serait donc négatif. La dimension de l'invariant est donc 0, 1, ou 3.
Examinons tout d'abord le premier cas.
La dimension de l'invariant peut-elle être nulle ?
Cela signifierait que le seul vecteur v tel que r(v)= λ(v) est le vecteur nul. Mais r(v)= λ(v) équivaut à:
r(v)-λv=0
v ∈ Ker(v-λId) où Id est l'application identique
Donc dire que seul le vecteur nul possède cette propriété c'est dire que:
∀ λv- λ Id est injectif (donc bijectif), soit encore: dét(λv-λ)≠0 ∀ λ
Mais l'équation dét(λv-λ) = 0 est une équation de degré 3 en l'inconnue λ, elle possède donc toujours au moins une racine réelle.
Il existe donc toujours au moins un réel λ et un vecteur non nul v tels que: r(v)= λv
Mais puisque r est orthogonale on a forcément |λ| = 1.
Supposons que λ=-1. Alors l'orthogonal de la droite λℝ serait globalement stable par r, mais la restriction de r à cet orthogonal ne pourrait être une rotation, elle posséderait donc un vecteur fixe qui serait fixe pour r aussi.
En résumé:
  1. Soit λ=1 et v est fixe
  2. Soit λ=-1 et il existe un vecteur fixe dans l'orthogonal de v.
Dans tous les cas il existe au moins un vecteur fixe non nul.
En conséquence il ne reste que deux possibilités. La dimension de l'invariant est soit 1 soit 3. Le cas 3 correspond, bien sûr, au cas trivial de l'application identique.
Pour finir le seul cas intéressant est le cas ou la dimension de l'invariant est 1.
La droite invariante s'appelle alors "l'axe" de la rotation.
Cela dit si P est l'orthogonal de l'axe la restriction de r à P est une rotation plane (voir donc paragraphe précédent), mais son angle n'est défini qu'au signe près parce qu'il dépend de l'orientation de P. La matrice de r par rapport à une base (u,v,w) orthonormale et telle que w soit un invariant de r est donc de la forme:
( cos(x) -sin(x) 0 )
sin(x) cos(x) 0
0 0 1
Voici une autre appliquette. Il s'agit d'observer l'effet des rotations autour d'un axe.
Choix de l'axe de rotation Ox Oy Oz
Angle de la rotation en degrés :