Définition

Quand on étudie les ensembles, on définit très rapidement les sous-ensembles (ou encore 'parties') d'un ensemble. Quand on étudie les groupes on étudie les 'sous-groupes' d'un groupe donné, qui sont les parties non vides, stables pour la loi de groupe et qui dès qu'elles contiennent un élément contiennent aussi l'élément symétrique (opposé ou inverse selon qu'on utilise la notation additive ou multiplicative ). De la même façon les anneaux ont des idéaux et les corps des sous-corps. Dans cette optique, nous allons définir les sous-espaces d'un espace vectoriel. De la même façon que les sous-groupes héritent des propriétés de leurs 'parent', (ils sont des groupes à part entière), tout comme les idéaux sont des anneaux et les sous-corps des corps, il serait bon que les sous-espaces vectoriels soient des espaces vectoriels de plein droit. De plus comme la notion d'espace vectoriel est une extension de la notion de groupe abélien additif, il serait bon que la structure de sous-espace vectoriel soit une extension de la notion de sous-groupe. Le décor est posé:
Soit E un espace vectoriel sur K. Un 'sous-espace vectoriel' F de E consiste en la donnée d'un sous-groupe additif (F,+) du groupe (E,+) stable pour la loi externe, c'est à dire que:
∀ (λ,u) ∈ K×F on a λu ∈ F.
Cette définition peut être remplacée par la suivante, strictement équivalente:
Soit E un espace vectoriel sur K. F sous-espace vectoriel de E équivaut à:
F ≠ et ∀ (λ,μ) ∈ K×K , ∀ (u,v) ∈ F×F on a: λu+μv ∈ F
Il résulte immédiatement de la définition que tous les sous-espaces d'un espace E sont non vides et contiennent tous le vecteur nul.
En outre, tout espace vectoriel admet au moins deux sous-espaces 'triviaux':

Exemples

  1. L'ensemble des multiples d'un même vecteur non nul ( droite vectorielle ).
  2. Considérons dans l'espace K×K les vecteurs dont la première coordonnée est nulle. Ils forment clairement un sous-espace vectoriel.
  3. Considérons plus généralement dans Kn, l'ensemble Fi des vecteurs dont la i-ième coordonnée est nulle. Chaque Fi est une sous-espace de Kn. Nous laissons au lecteur le soin de le vérifier.
  4. Dans Kn, les vecteurs dont toutes les coordonnées sont égales forment un sous-espace de Kn.
  5. Dans Kn, les vecteurs dont la somme des coordonnées est nulle forment un sous-espace de Kn. Cependant les vecteurs dont la somme des coordonnées est égale à 1 n'est pas un sous-espace vectoriel.
  6. Les suites convergentes forment un sous-espace de l'espace vectoriel de toutes les suites réelles, les suites convergentes vers 0 forment un sous-espace de ce sous-espace, les suites stationnaires (constantes) en forment un autre sous-espace.
  7. Les suites réelles croissantes ne forment pas un sous-espace de l'ensemble de toutes les suites réelles car quand on multiplie une suite croissante par un scalaire négatif elle devient décroissante.
  8. I étant un intervalle de ℝ Les fonctions continues forment un sous-espace C0 de l'espace de toutes les fonctions de I dans ℝ. Les fonctions dérivables sont à leur tour un sous-espace C1 des fonctions continues. Les fonctions n fois continument dérivables sont un sous-espace Cn des fonctions dérivables sur I. Les fonctions indéfiniment dérivables sont un sous-espace C de tous les sous-espaces Cn.
  9. Si I est un intervalle compact de ℝ les fonctions intégrables sur I (au sens de Riemann) forment un sous-espace de l'ensemble de toutes les fonctions réelles définies sur I. Les fonctions continues sur I forment un sous-espace de ce sous-espace.
  10. Les fonctions réelles paires sur ℝ forment un sous-espace de l'ensemble de toutes les fonctions réelles.
Le sous espace de ℝ3 défini par x+y+z=0 (un plan).
Ce sous espace apparaît en jaune, la normale à ce plan est représentée en rouge.
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