De nombreux problèmes se ramènent aujourd'hui à la résolution de systèmes d'équations dites 'linéaires' (du premier degré). La théorie de la résolution de tels systèmes est simple et connue. De nombreux critères calculatoires permettent d'attester de l'existence ou non de solutions et de prévoir leur forme.
On dispose de formules explicites pour le calcul des solutions. Cependant, quand la taille du système grandit, ces formules nécessitent des temps de calcul de plus en plus longs, et de fait, dans la réalité, les systèmes à résoudre comportent un très grand nombre d'équations.
La résolution d'un système est grandement facilitée quand ce système a une forme simple (diagonale, triangulaire).
On peut donc réutiliser les résultats du précédent chapitre sur la réduction des matrices pour simplifier les systèmes. Cependant les algorithmes de réduction sont eux-mêmes fort complexes et peu adaptés aux systèmes de grande taille (la recherche de valeurs propres passe par la résolution d'équations algébriques de degrés élevés).
On essaiera donc de présenter des techniques de transformation des systèmes avec la même idée directrice que la réduction des matrices, mais en essayant de simplifier les procédures. On verra que dans la plupart des cas on peut se passer des déterminants, des calculs d'inverses, des recherches de valeurs propres.
On verra que dans de nombreux cas, faute de pouvoir obtenir des solutions exactes, on se contentera de solutions 'approchées' en un sens à préciser (pseudo-solutions), et qu'on dispose d'algorithmes plus ou moins performants pour déterminer ces approximations.