Cohérence des définitions

Soient E et F deux espaces de dimensions finies n et m respectivement. Soit B=(u1,...,un) une base de E et B'=(v1,...,vm) une base de F. On désigne par E* et F* les espaces duaux de E et F respectivement et par B*et B'* les bases duales de B et B' respectivement. Soit enfin f: E → F une application linéaire, et tf : F* → E* sa transposée. Dans ces conditions: M(tf,B'*,B*)=tM(f,B,B')
Ce résultat se vérifie immédiatement en appliquant les définitions des espaces duaux, des bases duales, de la transposée d'une application linéaire et de la transposée d'une matrice. Il établit clairement le lien entre la transposition des matrices et celle des applications linéaires.

Une conséquence importante

Le rang d'une matrice est égal au rang de sa transposée.
Cela va résulter du fait que c'est vrai pour les applications linéaires.

Cohérences des notations

Nous avons vu que nous pouvons identifier les vecteurs avec les matrices colonnes et les formes linéaires avec les matrices lignes. Un cas particulier du théorème qui précède est le suivant. Si X est une matrice colonne représentant un vecteur, tX est la forme linéaire ayant les mêmes coordonnées que X dans la base duale. l'égalité ttX=X résulte de l'identification d'un espace avec son bidual.

Café Python

Voici un programme qui utilise la librairie numpy pour transposer les matrices: