Définitions

Un 'vecteur propre' (anglais: eigenvector) d'un endomorphisme u d'un espace vectoriel E est un vecteur non nul tel qu'il existe un scalaire λ tel que u(x)=λx. Le scalaire λ est appelée une 'valeur propre' de u (anglais: eigenvalue).
Le résultat suivant est évident:
Soit u un endomorphisme de E et λ une valeur propre de u. L'ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre λ forme un sous-espace vectoriel de E.
L'ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre λ est appelé 'sous-espace propre' (anglais: eigenspace) associé à la valeur λ.

Exemples

  1. 0 valeur propre de u ⇔ u non injective, et le sous-espace propre associé à la valeur nulle est Ker(u), le noyau de u.
  2. 1 est valeur propre de l'application identique et tout vecteur est un vecteur propre.
  3. Soit u l' homothétie vectorielle de rapport λ u : x → λx. alors λ est valeur propre de u et tout vecteur est un vecteur propre associé.
  4. Soit F un sous espace de E et G un supplémentaire de F dans E. Donc E= F ⊕ G et tout vecteur s'écrit de manière unique x=y+z avec y ∈ F et z ∈ G. Considérons l'application p: x → y appelée projection sur F parallèlement à G alors λ =1 est valeur propre de u avec F pour sous-espace associé. 0 est également valeur propre de u avec G pour sous-espace associé.
  5. Soit F un sous espace de E et G un supplémentaire de F dans E. Donc E= F ⊕ G et tout vecteur s'écrit de manière unique x=y+z avec y ∈ F et z ∈ G. Considérons l'application p: x → y-z appelée symétrie par rapport à F parallèlement à G alors λ =1 est valeur propre de u et tout vecteur de F est un vecteur propre associé à cette valeur propre. -1 est également valeur propre de u et tout vecteur de G est un vecteur propre associé à cette valeur.
  6. Une rotation plane d'angle non multiple de 2π ne peut posséder aucun vecteur propre.

Visualisation en dimension 2

Voici une appliquette pour vous familiariser avec la notion de vecteur propre dans l'espace ℝ2.
(y,x) (-y,x) (2x,2y) (3x,x+2y) (y,y)

Théorèmes importants

E étant un espace de dimension finie.
λ valeur propre de u ⇔ λ est racine de l'équation algébrique de degré n Dét(u-λi)=0 où i désigne l'application identique de E dans E.
λ valeur propre de u ⇔ Ker(u-λi) ≠ {0} ⇔ u-λi non injectif ⇔ u-λi non bijectif ⇔ Dét(u-λi) ≠ 0.
Il en résulte immédiatement que:
Le nombre des valeurs propres distinctes d'un endomorphisme est toujours ≤ dim(E).
De plus:
Deux sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
En effet si x est associé à la valeur propre λ et à la valeur propre μ on a λx = μx donc (λ-μ)x =0 comme λ-μ ≠ 0 on a forcément x=0.
Le résultat précédent est un cas particulier du théorème plus général suivant:
Soient x1, ..., xp des vecteurs propres associées à des valeurs propres distinctes λi de u. Alors les vecteurs x1, ..., xp sont linéairement indépendants.
Soit F le sous-espace engendré par x1, ..., xp alors F est stable par u. u induit donc un endomorphisme v de F. Les λi sont évidemment des valeurs propres de v on voit donc que v possède au moins p valeurs propres, mais celles-ci sont racines d'une équation de degré dim(F) il en résulte donc que p ≤ dim(F) et comme les xi engendrent F on a l'inégalité en sens inverse donc l'égalité, (x1,...,xp) est une base de F et le système est bien évidemment libre.

Définition

Le polynôme en X Dét(u-Xi) se nomme le 'polynôme caractéristique' de u.
Le polynôme caractéristique de u peut être calculé comme Dét(A-XI) où A est une matrice représentant u par rapport à n'importe quelle base.
En effet si B est une autre matrice représentant u on a:
B=PAP-1 , donc B-XI= PAP-1-XPIP-1 =P(A-XI)P-1.
D'où Dét(B-XI)=Dét(A-XI).

Café Python

Voici un programme qui utilise une librairie pour calculer les seules valeurs propres d'une matrice:

Voici un programme qui utilise une librairie pour calculer les valeurs propres d'une matrice ainsi que les vecteurs propres associés :

Voici un programme qui calcule le polynôme caractéristique d'une matrice: