Définition

Dans tout ce qui suit E désigne un espace vectoriel de dimension finie et f désigne une forme hermitienne non dégénérée sur E.
Deux vecteurs u et v de E sont dits 'orthogonaux' pour f si et seulement si f(x,y)=0
De la définition découle immédiatement les conséquences suivantes:
La relation d'orthogonalité est symétrique puisque f est hermitienne.
Le vecteur nul est orthogonal à tout autre, et il est le seul à posséder cette propriété puisque f est non dégénérée.
Si u et v sont orthogonaux f(u+v,u+v)=f(u,u)+f(v,v). (résultat connu sous le nom de théorème de Pythagore)

Exemple

Deux vecteurs distincts quelconques de la base canonique de ℝn sont orthogonaux pour le produit scalaire usuel.

Sous-espaces orthogonaux

La notion de sous-espaces orthogonaux généralise celle de vecteurs orthogonaux.
Soient F et G deux sous-espaces de E. On dit que F et G sont 'orthogonaux' si tout vecteur de F est orthogonal à tout vecteur de G

Exemples

  1. Soient u, v, w trois vecteurs tel que w soit orthogonal à u et à v, alors la droite engendrée par w est orthogonale au plan engendré par u et v.
  2. Soient S1 et S2 deux sous-systèmes disjoints de la base canonique de ℝn, alors les sous-espaces qu'ils engendrent sont orthogonaux pour le produit scalaire usuel.

Orthogonal d'un sous-espace

Soit F un sous-espace de E.
On appelle 'orthogonal' de F (notation F) l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de F.
De la définition résultent tout de suite les propriétés suivantes:
F et F sont orthogonaux au sens précédent
F ⊆ (F)