Nous présentons ici une certaine classe de fonctions présentant un intérêt du point de vue de la continuité, mais possédant aussi beaucoup d'autres propriétés. Ce concept permet de démontrer tout un ensemble d'inégalités fort utiles dans de nombreuses ranches de l'analyse mathématique.

Définition

Un sous-ensemble du plan est dit 'convexe' si chaque fois qu'il contient deux points il contient tout le segment joignant ces deux points.

Exemples:

L'intérieur d'un cercle, d'une ellipse, d'un triangle, d'un rectangle, sont des ensembles convexes.
Voici une appliquette mettant en évidence la convexité d'une ellipse.
Déplacez deux points A et B à l'intérieur de l'ellipse.
Le segment [AB] sera traçé qui doit se trouver entièrement à l'intérieur de l'ellipse.
Soit f une fonction numérique définie sur un ensemble D. On appelle 'épigraphe' de f l'ensemble des points (x,y) du plan avec x∈D et y>f(x).
Les points de l'épigraphe sont donc les points situés au-dessus du graphe.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser l'épigraphe d'une fonction.
Cliquez sur le bouton 'Choix fonction' pour changer de fonction.
Une fonction est dite 'convexe' si son épigraphe est convexe.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser l'épigraphe de fonctions convexes.
Cliquez sur le bouton 'Choix fonction' pour changer de fonction.

La propriété suivante est une évidence géométrique:
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit convexe est que pour tout couple de points M,N du graphe, le segment [MN] soit tout entier dans l'épigraphe
Sachant que si M(x0,y0) et N(x1,y1) le point P(λ)(λx0+(1-λ)x1,λy0+(1-λ)y1) parcourt le segment [MN] quand λ varie de 1 à 0, nous avons donc la nouvelle propriété:
Une condition nécéssaire et suffisante pour que f soit convexe sur I est que: f(λx0+(1-λ)x1)≤λf(x0)+(1-λ)f(x1), ∀(x0,x1)∈I×I

Lemme des 3 cordes

Le résultat suivant devient évident quand on sait que le taux de variation de f de a à b soit (f(b)-f(a))/(b-a) représente la pente de la sécante à la courbe représentative de f passant par les points du graphe d'abscisses a et b:
Si f est convexe sur I et si a,b,c sont trois points de I vérifiant a<b<c alors:
f(b)-f(a)

b-a
f(c)-f(a)

c-a
f(c)-f(b)

c-b
En outre si l'une des 3 égalités est vérifiée ∀ a,b,c a<b<c alors f est convexe.
Voici une appliquette qui illustre la définition d'une fonction convexe ainsi que le théorème des 3 cordes.
Vous pouvez:

Continuité

Toute application convexe sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.
En effet pour tout a∈I l'application ga: x → Δf(a,x) (taux de variation de f entre x et a) est d'après le lemme des 3 cordes, croissante.
Il en résulte donc que limx→a+ ga(x) existe et est finie (voir par exemple cette page), mais aussi limx→a- ga(x). Donc limx→a+ f(x)-f(a) =limx→a- f(x)-f(a)=0 et f est continue en a.