Voici une application directe du théorème de la valeur intermédiaire:
On cherche à résoudre en x une équation du type f(x)=0.
On sait que f(a)<0 et f(b)>0 (ou bien le contraire), c'est à dire que f change de signe entre a et b. On suppose de plus f monotone.
Dans ces conditions f doit s'annuler une fois et une seule entre a et b.
On calcule f((a+b)/2) si cette valeur est négative c'est que la racine de f(x)=0 est entre (a+b)/2 et b sinon elle est entre a et (a+b)/2.
On itère le processus.
A chaque étape on divise par 2 l'intervalle où est localisée la racine.
Il suffit d'itérer le processus un nombre de fois n suffisant pour que (b-a)/2n<ε où ε est la précision voulue.
Voici une appliquette illustrant cet algorithme.
Cliquez sur 'Suivant' pour chaque nouvelle itération.
Cliquez sur 'Recommencer' pour recommencer depuis le début.
A chaque fois s'affiche la valeur de f(c) jusqu'à la cinquième décimale.
Utilisez le menu de navigation en bas à droite pour zoomer et voir ce qui se passe après plusieurs itérations.

Voici un petit programme réalisant cette itération 9 fois pour calculer une approximation de √2 :