Définition

La continuité se définit à deux niveaux: Au niveau local la continuité s'exprime très simplement au moyen de la notion de limite.
On dit que f est 'continue' en un point x0 si:
Inversement on dit que f présente une 'discontinuité' en x0, si f n'est pas continue en x0.
Voici un exemple de discontinuité:
La fonction partie entière x→E(x) présente une 'discontinuité' en chaque valeur entière puisque, comme nous l'avons déjà vu, les limites à droite et à gauche sont différentes.
Il s'agit là d'une fonction présentant des discontinuités sur des points isolés.
Voici maintenant une fonction que nous avons déjà rencontrée. Considérons la fonction ainsi définie par cas:
f(x)= { 1 si x∈ℚ
0 si x ∉ℚ
Autrement dit cette fonction est la fonction caractéristique de l'ensemble ℚ.
Cette fonction ne possède aucune limite en aucun point, elle est donc discontinue partout.

Lien avec les suites

De la définition de la continuité et de la notion de suite convergente, nous tirons le résultat suivant d'une grande utilité pratique:
Si f est continue en x0 et si (un)n∈ℕ est une suite de points de D (domaine de f) convergeant vers x0 alors la suite (f(un))n∈ℕ converge vers f(x0).
Nous laissons la démonstration au lecteur à titre d'exercice.