Théorème fondamental

Soit f une fonction continue définie sur un intervalle compact [a,b], alors f est bornée sur [a,b] et ses bornes sont effectivement atteintes.
Plus précisément M=Supx∈[a,b]f(x) et m=Infx∈[a,b]f(x) sont des nombres réels finis et il existe au moins un réel x1 ∈[a,b] et un réel x2 ∈(a,b] tels que f(x1)=M et f(x2)=m.
Remarquons que rien ne dit que x1 et x2 sont uniques.

Montrons que f est majorée.
Si f n'était pas majorée sur (a,b], alors il existerait une suite (un) de points de [a,b] tels que f(un)>n ∀n∈ℕ.
De la suite (un) nous pourrions extraire une suite (vn) où vn=up(n) convergente vers une limite c∈[a,b] (revoir le théorème de Bolzano-Weierstrass).
Or, par continuité la suite f(vn) devrait converger vers f(c), ceci est incompatible avec f(vn)>p(n)≥n.
Soit maintenant M la borne supérieure de f sur [a,b].
Alors il existe une suite (un) de points de [a,b] telle que |f(un)-M| < 1/n &forall n∈ℕ.
De la suite (un) nous pouvons extraire une suite (vn) où vn=up(n) convergente vers une limite c∈[a,b].
On voit que par continuité (en utilisant ce résultat) on a forcément f(c)=M.
La démonstration est analogue pour les bornes inférieures.
Voici une appliquette vous permettant de visualiser ce théorème.
Vous pouvez: Aussitôt le maximum de f sur [a,b] est matérialisé par un point rouge sur la courbe.
Le minimum de f sur [a,b] est matérialisé par un point marron sur la courbe.

Image d'un compact

Si nous joignons ce résultat avec le théorème de la valeur intermédiaire, nous obtenons:
Toute fonction continue transforme tout intervalle compact en un intervalle compact.