Voici maintenant un théorème extrêmement important. Intuitivement il est assez simple à comprendre, mais sa démonstration présente quelques difficultés techniques.
Tout d'abord il met en jeu des fonctions, non pas d'une seule variable x, mais de deux variables réelles x et y. Ensuite on s'intéresse aux 'courbes de niveau' de ces fonctions, c'est à dire aux parties du plan où elles sont constantes. On s'intéresse donc aux sous-ensembles du plan caractérisés par une équation du type f(x,y)=k où k est une constante réelle. On peut d'ailleurs toujours supposer que k=0 en remplaçant au besoin la fonction f:(x,y) → f(x,y) par la fonction g:(x,y) → g(x,y)-k.
Voici quelques exemples simples et connus de tous:
Nous voyons que dans tous ces cas l'ensemble en question (courbe de niveau) correspond bien à notre concept de courbe 'continue' tel que présenté dans l'introduction.
Il est facile de fabriquer une fonction de deux variables à partir d'une fonction d'une seule variable. En effet si x → φ(x) est une fonction numérique, la fonction f(x,y)=y-φ(x) est une fonction de deux variables et la courbe de niveau f(x,y)=0 n'est rien d'autre que l'ensemble des points vérifiant y-φ(x)=0, c'est à dire y=φ(x), c'est à dire le graphe de φ.
Dans le cas où f(x,y) peut se mettre sous la forme y-φ(x) on dit qu'on a affaire à une équation 'explicite' c'est à dire que pour la courbe de niveau f(x,y)=0, y peut s'exprimer explicitement en fonction de x.
La question que nous nous posons ici est celle de la réciproque:
Pour une courbe de niveau d'une fonction de deux variables f(x,y)=0 dite équation 'implicite' est-il toujours possible de parvenir à une équation explicite?
Avant d'apporter une réponse (partielle) à ce problème, examinons deux cas particuliers.
Prenons d'abord le cas particulier de la droite ax+by+c=0. On voit que si b≠0 on peut calculer simplement y en fonction de x, on a: y=-(a/b)x-c/b. Mais il est non moins évident que c'est impossible si b=0.
Dans le cas du cercle de centre O et de rayon 1, l'équation x2+y2-1=0 donne y2=1-x2 donc y=+√(1-x2) ou bien y=-√(1-x2). Nous voyons donc qu'ici notre problème de résolution de y en fonction de x possède deux solutions distinctes.
En définitive, selon les cas, notre problème d'écriture explicite d'une variable en fonction de l'autre pour une courbe de niveau d'une fonction de deux variables peut posséder exactement une solution, en posséder deux ou ne pas en posséder du tout.
Nous allons voir que pour peu que la fonction f possède quelques propriétés simples, notre problème possède des solutions au moins locales, c'est à dire que si (a,b) est un point de la courbe de niveau f(x,y)=0, c'est à dire vérifie f(a,b)=0, on peut trouver un voisinage de a dans lequel la résolution explicite de y en fonction de x est possible et est unique. Il reste maintenant à préciser quelles sont ces propriétés.
Le théorème dit des 'fonctions implicites' possède de nombreux énoncés dans des contextes divers. Nous choisissons ici une formulation qui ne fait appel qu'à nos connaissances actuelles sur les fonctions d'une seule variable réelle, il est dû à A.S. Besicovitch rapporté par G.H. hardy (A course of pure mathematics)
Abram Besicovitch (1891-1970-RU) Geoffrey Harold Hardy (1877-1947-UK)
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Besicovitch.html http://www.twopennies.net/quotes/

Le théorème des fonctions implicites

Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage d'un point (a,b) sur un 'carré' [a-r,a+r]×[b-r,b+r].
On fait les suppositions suivantes:
  1. f(a,b)=0
  2. Pour toute valeur x∈[a-r,a+r] la fonction y →f(x,y) est une fonction continue strictement monotone de y sur [b-r,b+r].
  3. Pour toute valeur y∈[b-r,b+r] la fonction x → f(x,y) est une fonction continue de x.
Dans ces conditions, il existe un voisinage V de a, et une application continue φ :V → [b-r,b+r] telle que: f(x,y)=0 ⇔ y=φ(x) ∀x∈V.

Supposons que pour toute valeur x∈[a-r,a+r] la fonction y →f(x,y) est une fonction continue strictement croissante de y sur [b-r,b+r]. Le cas où il s'agit d'une fonction strictement décroissante est parfaitement symétrique.
Sur cette figure le point P est le point de coordonnées(a,b) en lequel la fonction f s'annulle. Le point Q est le point de coordonnées (a,b+r), le point R(a,b-r).
On a donc f(Q)>0 et f(R)<0 d'après l'hypothèse.

D'après la condition 3. On peut trouver e tels que si Q' et Q" sont à une distance de Q inférieure à e alors f(Q')>0 et f(Q")>0.
Par ailleurs on peut supposer e suffisamment petit pour que si R' et R" pour que si R' et R" sont à une distance de R inférieure à e, f(R') et f(R") soient <0.
On suppose donc que Q'(a-e,b+r), Q"(a+e,b+r),R'(a-e,b-r),R"(a+e,b-r) et que f(Q')>0 f(Q")>0 f(R')<0 et f(R")<0.
En utilisant la condition 2. conjointement avec le théorème des valeurs intermédiaires on voit qu'il existe un point P' du carré d'abscisse a-e tel que f(P')=0.
En outre ce point est unique. En effet l'application y → f(a-e,y) étant strictement croissante elle est injective sur [b-r,b+r], elle ne peut donc avoir deux annulations.
Ce raisonnement vaut non seulement pour le segment [Q'R'] mais pour tout segment d'extrêmités (x,b-r) (x,b+r) où x∈[a-e,a+e]. Si donc on désigne par φ(x) l'ordonnée de l'unique point de ce segment où f s'annule, nous obtenons donc la première partie de notre affirmation.
Il reste à prouver que φ est continue.
Prenons maintenant x0 entre a-e et a+e, et montrons la continuité en x0.
Soit y0=φ(x0), alors f(x0,y0)=0.
Pour tout ε>0 on a:
f(x0,y0-ε)<0<f(x0,y0+ε)
Utilisant la condition 3., c'est à dire la continuité en x0 de x →f(x,y) pour y=y0-ε et y=y0+ε, on voit qu'il existe η>0 tel que si x∈[x0-η,x0+η] on ait:
f(x,y0-ε)<0<f(x,y0+ε)
Mais toujours en vertu de la condition 2. et du théorème des valeurs intermédiaires:
φ(x) se trouve dans l'intervalle ]y0-ε y0+ε[,CQFD.